正弦定理和余弦定理的应用举例发表在学习报2010-2011 第 9 期总第 1121 期 第 2 版 2010 年 8 月 27 日国内统一刊号 CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79正弦定理和余弦定理的应用举例正弦定理和余弦定理的应用举例 特级教师特级教师 王新敞王新敞 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：化边为角；化角为边，并常 用正弦（余弦）定理实施边角转化解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理， 找两边两角之间的关系常用正弦定理 1.正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直 径即 （其中 R 表示三角形的外接圆半径）RCc Bb Aa2sinsinsin利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其 他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他 的边和角）. 2.余弦定理：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍第一形式，=，2bBaccacos222第二形式，cosB=acbca 2222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.例例 1 在 ABC 中，已知 a=,b=,B=45，求 A,C 及边 c32解：解：由正弦定理得：sinA=,23245sin3sinobBa因为 B=4590且 ba,所以有两解 A=60或 A=120(1)当 A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,226 45sin75sin2 sinsinooBCb(2)当 A=120时,C=180-(A+B)=15 ，c=226 45sin15sin2 sinsinooBCb思维点拨：思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例例 2 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证： A=2B. 分析分析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边 证明：证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 a2=b（b+c）中，得 sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）22cos1A 22cos1B（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）21sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B） ， 因为 A、B、C 为三角形的三内角，所以 sin（A+B）0. 所以 sin（AB）=sinB. 所以只能有 AB=B，即 A=2B. 思维点拨：思维点拨：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公 式变换求解. 例例 3 在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求A 的大小及的值.cBbsin分析：分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理.由 b2=ac 可变形为=a，再用正弦定理可求的值.cb2 cBbsin解：解：a、b、c 成等比数列，b2=ac. 又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC 中，由余弦定理得 cosA=，A=60.bcacb 2222 bcbc 221在ABC 中，由正弦定理得 sinB=，aAbsinb2=ac，A=60，=sin60=acb cBb60sinsin223思维点拨：思维点拨：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关 系常用正弦定理.例例 4 在ABC 中，sinA=，判断这个三角形的形状CBCB coscossinsin 分析：分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采 用后一种方法解答本题，就必须“化角为边” 解：解： sinA=CBCB coscossinsin 22222222 2 22bc aRR cababcR caab a=，abcba cabaccb22222222 b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c） （b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c） a2=b2bc+c2+bc. a2=b2+c2. 所以ABC 是直角三角形思维点拨：思维点拨：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键若考虑三内角的关系， 本题可以从已知条件推出 cosA=0.