特殊的平行四边形特殊的平行四边形菱形菱形 一菱形的定义一菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 二菱形的性质菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质： 1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。三菱形的判定办法菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形； 3.对角线垂直的平行四边形是菱形； 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。四菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半. .（有关菱形问题可转化为直角三角形或 等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的 4 倍 复习：复习：1.如图，在中，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接 ABCEADABCBEFAFDCCF （1）求证：是的中点；（2）若，试猜测四边形的形状，并证DBCABACADCF 明解答：解答：（1）证明：，E 是的中点，AFBCAFEDBE ADAEDE 又，AEFDEB AEFDEBAFDBAFDCDBDC （2）解：四边形是矩形，证明：，四边形是平行四边ADCFAFDCAFDCADCF形，是的中点，即四边形是矩ABACDBCADBC90ADCoADCF形 菱形例题讲解：菱形例题讲解： 1.已知点 D 在ABC 的 BC 边上，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F若 AD 平分BAC， 试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由 解答：解答：四边形 AEDF 是菱形，DEAC，ADE=DAF，同理DAE=FDA，AD=DA，ADEDAF，AE=DF； DEAC，DFAB，四边形 AEDF 是平行四边形，DAF=FDAAF=DF平 行四边形 AEDF 为菱形 2.已知：如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，BC=CD，ADBD，E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是菱形 证明：证明：ADBD，ABD 是 RtE 是 AB 的中点，BE=DE，EDB=EBD， CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB， EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBDCBD （ASA ），BE=BC， CB=CD=BE=DE，菱形 BCDE（四边相等的四边形是菱形） 3.如图，ABC 与CDE 都是等边三角形，点 E、F 分别在 AC、BC 上，且 EFAB， （1）求证：四边形 EFCD 是菱形；（2）设 CD=4，求 D、F 两点间的距离 解答：解答：（1）证明：ABC 与CDE 都是等边三角形，ED=CD=CEEFAB EFC=ACB=FEC=60, EF=FC=EC 四边形 EFCD 是菱形 （2）解：连接 DF，与 CE 相交于点 G，由 CD=4，可知 CG=2，4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形 证明：证明：AEFCEAC=FCA又AOE=COF，AO=CO，AOECOF EO=FO又 EFAC，AC 是 EF 的垂直平分线 EF 是 AC 的垂直平分线四边形 AFCE 为菱形5.在 中，分别为边的中点，连接ABCDEF，ABCD，DEBFBD， （1）求证：ADECBF （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论ADBDBFDE 解解: :（1）在平行四边形 ABCD 中，AC，ADCB，ABCDE，F 分别为 AB，CD 的中点AE=CF , (SAS)AEDCFBODCBABAFCED第 5 题（2）若 ADBD，则四边形 BFDE 是菱形 证明：，是，ADBDABDRt且是斜边（或）,是的中点，由题意可且，AB90ADBoEAB1 2DEABBEEBDFEBDF四边形是平行四边形，四边形是菱形BFDEBFDE实战演练实战演练 1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 43，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2 B.24cm2 C.48cm2 D.96cm2 2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于 点 E、F，则 AE 的长为_.7 8cm分析：分析：连 EB,EF 垂直 平分 BD,ED=EB,设AE=x,则 DE=EB=（4-x）,AE+AB=BE,即： x+3=（4-x）,解得：x= 7/8 3.如图,在菱形 ABCD 中，AC8，BD6，过 点 O 作 OHAB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 12/5 4.如图，菱形 ABCD 的连长是 2，E 是AB 中点，且 DEAB，则菱形 ABCD 的面积为_22 35.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OEAB，若ADC=130，则AOE 的大小为 65 6.如图，已知四边形 ABCD 是菱形，A=72，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么1+2+3= 90 度7.在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为 96 8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32，则菱形较小的内角是 58 9.已知菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，若 AB = 6，BDC = 30，则菱形的面积为 18 310.在四边形 ABCD 中，给出四个条件：AB=CD，ADBC，ACBD，AC 平分BAD，由其中三个条件推出四边形 ABCD 是菱形，你认为这三个条件是 或 （写四个条件的不给分，只填序号）11.如图，已知在ABCD 中，AD=2AB，E、F 在直线 AB 上，CE 与 AD 交与点 M， DF 与 CB 交与点 N，且AE=AB=BF，求证:CEDF.证明：证明：连接 MN,ABCD, AB=DC, 又AB=AE, AE=DCAEMCDM, M 为 AD 的中点. 又AD=2AB, CD=DM CDMN 是棱形, 所以 CEDF.12.如图所示，ABC 中，ACB=90，ABC 的平分线 BD交 AC 于点 D，CHAB 于H，且交 BD 于点 F，DEAB 于 E，四边形 CDEF 是菱形吗？请说明理由第 4 题BADCE第 2 题第 3 题第 6 题DACFHEB解：解：解法一：四边形 CDEF 是菱形理由：如图所示，BD 平分ABC，CD=DE，因为1+4=90，2+5=90，1=2，3=5，3=4CF=CDCF=DE因为 CFDE所以四边形 CDEF 是平行四边形所以CDEF 是菱形/13.如图所示，已知ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，过点 D作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，再过 E，F 作 EGAC，FHAB，垂足分别为 G，H，且 EG，FH 相交于点 K，试说明 EF 和 DK 之间的关系 解：解：EF 与 DK 互相垂直平分理由：因为 DEAB，FHAB，DEFH DFAC，EGAC，所以 DFEG四边形 DEKF 是平行四边形 AB=AC，B=C又因为 BD=CD，BED=CFD=90， BDECDF，DE=DFDEKF 是菱形，EF 与 DK 互相垂直平分 点拨：点拨：要说明 EF 与 DK 互相垂直平分，只要说明四边形 DEKF 是菱形，要说明四边形 DEKF 是菱形，可先说明四边形 DEKF 是平行四边形，再说明一组邻边相等即可KDACFHGEB