2014/3/13 第一章 习题课 1 理 论 力 学 教材：周衍柏理论力学教程 编 北京交通大学理学院 教师：王波波 2014/3/13 第一章 习题课 2 第一章 习题课 1.4 (P76) 细杆细杆OL绕绕O点一匀角速点一匀角速w转动转动,并推动小环并推动小环 C在固定的钢丝在固定的钢丝AB上滑动上滑动.图中的图中的d为一已知常数为一已知常数, 试求小环的速度及加速度的量值试求小环的速度及加速度的量值. 解：小环解：小环C作一维运动，以作一维运动，以AB为为x轴，轴，A为坐标原点为坐标原点 O B A x dL tanxdtanxd 21 cosdw2secdw22/ddww2secxdw 2 32sin cosdw22222/x dxdw2014/3/13 第一章 习题课 3 解：解： cos ,sinxryr cossinxrrcossinyrr2cossinsinsincosxrrrrr2cos2sinrrrr2sincoscoscossinyrrrrr2sin2cosrrrr1.7 (P77)试自试自 出发出发,计算计算 及及 .并由此推出径向加速度并由此推出径向加速度 及及 横向加速度横向加速度 . cos ,sinxryr xyra a2014/3/13 第一章 习题课 4 cossinsinvxiy jrrirrjaxiy j22cos2sinsin2cosrrrrirrrrj ij i jrxyocossin ,sincosiijjijcossincossinsinsincosvrrijrrijrir j故故 ,rvr vr同理可证：同理可证： 2,2rarrarr2014/3/13 第一章 习题课 5 解：解： ,2pp,2ppxyO2 ,ndvvaadt题设题设 2naka 所以所以 2 2dvvkdt 而而 dsds dtdtvddt dd于是于是 2dvdkvdtdt 或或 2dvkdv 1.10 (P77)一质点沿抛物线一质点沿抛物线 运动运动.其切向加其切向加 速度的量值是法向加速度量值的速度的量值是法向加速度量值的 倍倍.如此质如此质 点从正交弦点从正交弦 的一端以速度的一端以速度u出发出发,试求其试求其 达到正交弦另一端时的速率达到正交弦另一端时的速率. 22ypx 2k /2,pp2014/3/13 第一章 习题课 6 2dvkdv 212vudvkdv 21ln2vku 212kvuetandyy dsp因为因为 1tan12tan1 123,444212kvue2014/3/13 第一章 习题课 7 vxy1.20 (P79)一枪弹以仰角一枪弹以仰角a,初速初速v0自倾角为自倾角为的斜面的斜面 的下端发射的下端发射.试证子弹击中斜面的地方和发射点试证子弹击中斜面的地方和发射点 的距离的距离d(沿斜面度量沿斜面度量)及此距离的最大值分别为及此距离的最大值分别为 解：解： 0,mx mymg 两次积分两次积分 02 0cos ,1sin2xtvytvgt2 0 2cossin2 cosvdg 2 20 max2sec42vdg2014/3/13 第一章 习题课 8 (1)、(2)两式联立两式联立,求得枪弹落在斜面上的点：求得枪弹落在斜面上的点： 22 022 0tantan2cos,tantan2costanxvgyvg22dxy21 tanx22 0tantan12coscosvg2 0 2cossin2 cosv g 消去消去t，得轨道方程，得轨道方程 2 22 01tan2cosgyxxv斜面方程为斜面方程为 tanyx（1） （2） 2014/3/13 第一章 习题课 9 2 0 2cossin2 cosvdg 求极值。一阶导数为零求极值。一阶导数为零 2 0 22ddcossin0dcosdvd g给出给出 cos 20即即 224222 0 max 2cossin22cos22vdg2 202sec42v g2014/3/13 第一章 习题课 10 解解: 切向方程切向方程 sindvmmgdt法向方程法向方程 86420-2-4-6-8 0-0.5-1-1.5-22 cosvRmgmsin/dy ds （1） （2） （3） 1.29 (P80)一质量为一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖的质点自光滑圆滚线的尖 端无初速地下滑端无初速地下滑.试证在任何一点的压力为试证在任何一点的压力为 ,式中式中 为水平线和质点运动方向为水平线和质点运动方向 之间的夹角之间的夹角.已知圆滚线方程为已知圆滚线方程为 2cosmg2sin2,1 cos2xaya 几何关系几何关系 2014/3/13 第一章 习题课 11 vdvgdy 初始时刻初始时刻 0,0,02txayv00vyvdvgdy 2vgy22 4 cosdsdxdyaddd（4） （5） 将（将（4）、（）、（5）代入（）代入（2）：）： 2 cosvRmgm2cosmg（3）代入（）代入（1）：）： dvdygdtds即即 2014/3/13 第一章 习题课 12 1.40 (P82)一质点受一与距离成反比的引力作用在一质点受一与距离成反比的引力作用在 一直线上运动一直线上运动,质点的质量为质点的质量为m,比例系数为比例系数为k.如此质如此质 点从距原点点从距原点O为为a的地方由静止开始运动的地方由静止开始运动,求其达到求其达到O 点所需的时间点所需的时间. 解：解： /fk x 运动方程运动方程 /mxfk x 即即 kmxdxdxx 积分得积分得 0xxakxdxdxmx 222lnlnkxkaxmamx 2lnkaxmx 2014/3/13 第一章 习题课 13 2lndxka dtmx 2lndxdtka mx002lntadxdtka mx 02lnadxtka mx 02lnamdx ka x102lnmdyaky2mak2014/3/13 第一章 习题课 14 解：解： 动能定理动能定理 21 2dmvF dr角动量守恒角动量守恒 2mhmr（1） （2） 角动量还可以表示为角动量还可以表示为 sinrmvmvrmvp所以所以 mvpmh即即 /vh p（3） 1.41 (P82)试导出下面有心力量值的公式试导出下面有心力量值的公式: 式中式中m为质点的质量为质点的质量,r为质点到力心的距离为质点到力心的距离, , p为力心到轨道切线的垂直距离为力心到轨道切线的垂直距离. 222mh dpFdr 2hr常数2014/3/13 第一章 习题课 15 (3)代入代入(1)，并注意到，并注意到 F drFdr221 2hdmFdrp即即 222mh dpFdr 得得: 2014/3/13 第一章 习题课 16 解：解： 已知已知 FF r/va r而而 222vrr所以所以 222 2arrr1.46 (P83)质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动.此力的量值为此力的量值为 质点到力心距离质点到力心距离r的函数的函数,而质点的速率则与此距离而质点的速率则与此距离 成反比成反比,即即 . 如果如果 , 求质点的轨道求质点的轨道 方程方程.设当设当 时时, . /va r222ahhr0rr0利用利用 可得可得 2rh222 21rahr221drahdtr 2014/3/13 第一章 习题课 17 221drah drh 02201rrdrahdrh 2201lnrahrh 注意到注意到 2drdr ddrh dr dtddtdr d上式变为上式变为 2014/3/13 第一章 习题课 18 解：解： 2,rh2 2 21hpaek（1） （2） 将（将（2）代入（）代入（1） 221rk ae（3） 行星椭圆运动的总能量行星椭圆运动的总能量 22 21 22k mk mmvra 1.49 (P83)在行星绕太阳运动的椭圆运动中，如令在行星绕太阳运动的椭圆运动中，如令 2cos,araeEdtT ，式中，式中t为周期，为周期，a为半长为半长 轴，轴，e为偏心率，为偏心率，E为一个新参量，在天文学叫做为一个新参量，在天文学叫做 偏近点角。试由能量方程导出下面的开普勒方程偏近点角。试由能量方程导出下面的开普勒方程 sinMEeE2014/3/13 第一章 习题课 19 (3)代入代入(4)： 22222 2kra earr a椭圆运动中，其周期为椭圆运动中，其周期为 所所以所所以(5)式变为式变为 3/22 a k（5） 22222 224draa eardtr 积分积分 22221rdrdtaa ear （6） 即即 22221rrkra（4） 2014/3/13 第一章 习题课 20 则则(6)变为变为 22222cossincosaaeEaeEdEMaa ea eE 1cosMeE dEsinMEeE开普勒方程开普勒方程 题设题设 2dtT cosaraeE 2014/3/13 第一章 习题课 21 作业 1.45, 1.50