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广西大学数学建模考试试题广西大学数学建模考试试题 A A 及及参考答案参考答案一概念题(共一概念题(共 3 3 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,本大题共分,本大题共 1515 分)分)1、 什么是数学模型?(5 分)答:数学模型可以描述为,对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据 特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。2、 数学建模有哪几个过程?(5 分)答:数学建模有如下几个过程:模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分 析,模型检验,模型应用。3、试写出神经元的数学模型。 答:神经元的数学模型是 其中 x(x1,xm)T 输入向量,y 为输出,wi是权系数;输入与输出具有如下关系: 为阈值,f(X)是激发函数;它可以是线性函数,也可以是非线性函数(5 分)二、模型求证题(共二、模型求证题(共 2 2 小题,每小题小题,每小题 1010 分,本大题共分,本大题共 2020 分)分)1 1、(、(l l)以雇员一天的工作时间)以雇员一天的工作时间 t t 和工资和工资 w w 分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别 曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5(5 分分) ) (2 2)如果雇主付计时工资,对不同的工资率)如果雇主付计时工资,对不同的工资率( (单位时间的工资单位时间的工资) )画出计时工资线族。根据雇画出计时工资线族。根据雇 员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5(5 分分) )答:(l)雇员的无差别曲线族 f(w,t)=C 是下凸的,如图 1,因为工资低时,他愿 以较多的工作时间换取较少的工资;而当工资高时,就要求以较多的工资来增加一点工作 时间(2)雇主的计时工资族是 w=at,a 是工资率这族直线与 f(w,t)=c 的切点 P1,P2,P3,的连线 PQ 为雇员与雇主的协议线通常 PQ 是上升的(至少有一段应该是上 升的),见图 12 2、试作一些合理的假设,证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。、试作一些合理的假设,证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7(7 分分) )又问又问 命题对长凳是否成立,为什么?命题对长凳是否成立,为什么?(3(3 分分) )答:(一)假设:电影场地面是一光滑曲面,方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系:其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚,以正方形 ABCD 的中心为坐标系原 点。 图二 记 H 为脚 A,C 与地面距离之和, G 为脚 B,D 与地面距离之和, 为 AC 连线与 X 轴的夹 角,不妨设 H(0)0 , G(0)=0,(为什么?) 令 f() = H() - G() 则 f 是 的连续函数,且 f(0)=H(0)0,将方凳旋转90,则由对称性知 H(/2)=0, G(/2)=H(0)从而 f(/2)= -H(0) 0,所以这是正则链 (2 分)记为稳态概率,则有(2 分)四、建模题(共四、建模题(共 2 2 小题,每小题小题,每小题 1010 分,本大题共分,本大题共 2020 分)分) 1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈,则以后就不会再患病。将人群分为未感染者 S、患者 I、已治愈者(包括死亡者 R)三种人,试作出必要的假设并写出该传染病的扩散 微分方程模型(不必求解)。(10(10 分分) )答:假设:(1) 设一个病人在单位时间内能传染的病人数 i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比,比例系数为(称为感染率);(2) 设在 t 时刻,已治愈人数(包括死亡人数)为 r(t); (3)设在单位时间内病人的治愈率为 ,即; (4 分)(4)病人痊愈后不会再被传染。则有:(6 分)2 2、某食品加工厂拟安排生产计划,已知一桶牛奶加工、某食品加工厂拟安排生产计划,已知一桶牛奶加工 1212 小时后可生产小时后可生产 A A 产品产品 3 3 公斤,公斤, A A 产品可获利产品可获利 2424 元元/ /公斤公斤 ,或一桶牛奶加工,或一桶牛奶加工 8 8 小时可生产小时可生产 B B 产品产品 4 4 公斤,公斤,B B 产品可获利产品可获利 1616 元元/ /公斤。现每天可供加工的牛奶为公斤。现每天可供加工的牛奶为 5050 桶,加工工时至多为桶,加工工时至多为 480480 小时,且小时,且 A A 产品至多只能产品至多只能 生产生产 100100 公斤。为获取最大利润,问每应如何安排生产计划?请建立相应的线性规划模型公斤。为获取最大利润,问每应如何安排生产计划?请建立相应的线性规划模型 (不必求解(不必求解,10,10 分)。分)。答:设每天安排答:设每天安排 x x1 1桶牛奶生产桶牛奶生产 A A 产品,产品,x x2 2桶牛奶生产桶牛奶生产 B B 产品,则有:产品,则有:参考评分标准:目标函数参考评分标准:目标函数 3 3 分,约束条件分,约束条件 7 7 分分
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