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xy21定义 由函数和所构成的函数称为复合函数,其中)(ufy )(xgu )(xgfy 通常称为外层函数,称为内层函数。)(ufy )(xgu 求上述复合函数的单调区间,我们一般可以按照下面这几个步骤来进行:)(xgfy (1)写出构成原复合函数的外层函数和内层函数;)(ufy )(xgu (2)求外层函数的单调区间(包括增区间和减区间)等;)(ufy BA、(3)令内层函数,求出的取值范围;Axgu)(xM(4)若集合是内层函数的一个单调区间,则便是原复合函数M)(xgu M的一个单调区间;若不是内层函数的一个单调区间,则需把)(xgfy M)(xgu 划分成内层函数的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数M)(xgu 的单调区间;)(xgfy (5)根据复合函数“同增异减”的复合原则,分别指出原复合函数在集)(xgfy 合或这些单调子区间的增减性;M(6)令内层函数,同理,重复上述(3)、(4)、(5)步骤。若外层Bxgu)(函数还有更多的单调区间、,则同步骤(6)类似,不断地重复上述步骤。)(ufy CD(7)设单调函数为外层函数,为内层函数)(xfy )(xgy (8)(1) 若增,增,则增.)(xfy )(xgy )(xgfy (9)(2) 若增,减,则减.)(xfy )(xgy )(xgfy (10) (3) 若减,减,则增.)(xfy )(xgy )(xgfy (11) (4) 若减,增,则减.)(xfy )(xgy )(xgfy (12) 结论:同曾异减(13) 例 1. 求函数的单调区间.222)(xxxf (14) 解题过程:(15) 外层函数:ty2(16) 内层函数:22xxt(17) 内层函数的单调增区间:,21x(18) 内层函数的单调减区间:21,x(19) 由于外层函数为增函数(20) 所以,复合函数的增区间为:,21x(21) 复合函数的减区间为: 21,x(22) 求函数的单调区间.)23(log221xxy(23)解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的;uy 21log223xxu(24) 易知是外层函数的单调减区间;), 0( uy 21logxyo21xyo21xyoxyo21xyo21xyo21xyoxyo21(25) 令,解得的取值范围为;0232xxux) 1 , 3( (26) 解题过程: (27) 外层函数:ty2log(28) 内层函数:22xxt (29)022xxt (30) 由图知: (31) 内层函数的单调增区间:, 1 x(32) 内层函数的单调减区间:2,x (33) 由于外层函数为增函数 (34) 所以,复合函数的增区间为:, 1 x(35) 复合函数的减区间为:2,x结合二次函数的图象可知不是内层) 1 , 3(函数的一个单调区间,但可以把区间划分成内层函数的两个223xxu) 1 , 3(单调子区间和,其中是其单调增区间,是其单调减区 1, 3() 1 , 1 1, 3() 1 , 1间;于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知,是原函数的单调减区间, 1, 3(是原函数的单调增区间。) 1 , 1例 2.求函数的单调区间.)2(log)(2 2xxxf 解题过程: 外层函数:ty2log内层函数:22xxt 022xxt 由图知: 内层函数的单调增区间:, 1 x内层函数的单调减区间:2,x 由于外层函数为增函数 所以,复合函数的增区间为:, 1 x复合函数的减区间为:2,x
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