1第七章第七章 空间连杆机构运动分析空间连杆机构运动分析第七章 空间连杆机构运动分析.1 7.1空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵 .2 7.1.1绕直角坐标轴的旋转.2 7.1.2空间旋转矩阵.3 7.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转.37.1.2.2 绕空间任意轴 u 旋转角表示空间旋转.37.1.2.3 用欧拉角，和来描述空间旋转.47.1.3刚体位移矩阵及其逆.4 7.1.4旋转矩阵与位移矩阵的微分.5 7.1.4.1 旋转矩阵的微分.5 7.1.4.2 位移矩阵的微分.6 7.2空间四杆机构运动分析 .7 7.2.1空间四杆机构 RSSR 运动分析 .7 7.2.2习题.8 7.3空间串联机器人运动分析 .8 7.3.13-RPR 运动分析.8 7.3.2RRRRRR 机械手运动分析.11 7.4空间并联机器人运动分析 .12 7.4.16-SPS 并联机构的位置分析.12 7.5参考文献 .1327.1空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵在三维空间中，刚体的总位移可以视为刚体的角位移和刚体上任何适当参考点 的线位移这两个基本位移分量的总和。描述刚体位移有好几种方法，其中较常 用的是绕三角坐标轴的一组旋转矩阵、绕空间任意一轴的旋转矩阵和欧拉角旋 转矩阵。下面分别讨论这三种旋转矩阵。7.1.1绕直角坐标轴的旋转绕直角坐标轴的旋转zxyov2v1v1yv1xv2yv2x图表示固连在旋转刚体上的一个定长向量绕 z 轴的旋转向量 在位移前后的所vv有分量都是以相对固定的 x-y 轴参考系来度量。当向量绕 z 轴旋转角，到达1vv 处时，有下列方程（参见邹老师的教材（参见邹老师的教材 P62）2vv* MERGEFORMAT (7.4)21121121cossinsincosxxyyxyzzvvvvvvvv 把上式写成矩阵的形式，有* MERGEFORMAT (7.5)212121cossin0 sincos0 001xxyyzzvv vv vv 上式可缩写成如下的形式，即 * MERGEFORMAT (7.6)2,1()( )zvRv式中为绕 z 轴转角的旋转矩阵，有,zR* MERGEFORMAT (7.7),cossin0 sincos0 001zR 同理，可写出分别绕 y 轴和 x 轴旋转的矩阵* MERGEFORMAT (7.8),cos0sin 010 sin0cosyR * MERGEFORMAT (7.9),100 0cossin 0sincoszR 37.1.2空间旋转矩阵空间旋转矩阵空间旋转矩阵可用若干个基本旋转矩阵来表示，其主要有以下三种形式。7.1.2.1按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转固连于刚体上的矢量在三维空间内旋转的每个分量是 3x3 矩阵，空间旋转矩阵 可把每个矢量矩阵逐次相乘来求得，即当三个旋转顺序为绕 z 旋转角，绕 y 轴转角，然后在绕 x 轴转，则始末位置 1 与 2 处矢量 的关系可用下式描述：vv* MERGEFORMAT (7.10)2,11()( ) xyzvRRRvRv式中空间旋转矩阵为R* cscc cs cs Rs cc s sc cs s sc s s sc ss s cc c MERGEFORMAT (7.11) 式中，。coscsins7.1.2.2绕空间任意轴绕空间任意轴u旋转旋转角表示空间旋转角表示空间旋转zxyo 1 uyuwuuxuz2345在图中，是单位向量。绕 u 轴旋转角的运动，可按下列步骤来(,)Txyzuu u uv描述：首先转动刚体，使 u 轴平行于 z 轴，再以 u 的这一暂时位置为转轴旋转 角，然后把 u 轴旋回它原来的位置。这一完整的旋转过程可用矩阵描述： * 2,1,1()( )( )yxzxyuvRRRRRvRvMERGEFORMAT (7.12) 式中，称为轴旋转矩阵，它是描述刚体空间有限旋转的最常用的形式之一。,uR当形成时，单位向量 u 的方向余弦有下列代换：,uR* MERGEFORMAT (7.13)222222sin,sincos,coscos sin,cos cosx yxzz xzxyxzuu uuuuu uuuu 把式* MERGEFORMAT (7.13)代入式* MERGEFORMAT (7.12)，有4* 22 , 2xxyzxzyuxyzyyzxxzyyzxzu V Cu u Vu Su u Vu S Ru u Vu Su VCu u Vu S u u Vu Su u Vu Su VC MERGEFORMAT (7.14) 式中，。经过适当的分解，式* 1cosV sinScosC MERGEFORMAT (7.14)可得如下形式： * MERGEFORMAT ,cossinuuuuuRPPPQ (7.15) 式中 * MERGEFORMAT (7.16)uuuPPIQ* MERGEFORMAT (7.17)0 0 0zyuzxyxuu Puu uu * MERGEFORMAT (7.18)222xxyxzuxyyyzxzyzzuu uu u Qu uuu u u uu uu 7.1.2.3用欧拉角用欧拉角，和和 来描述空间旋转来描述空间旋转xyz zxyxyz1234坐标系 XYZ 固定在参考构件 1 上；固连于参考构件 2 上的坐标系 XYZ是绕轴 z 转角而得到；固连于构件 3 上的坐标系 XYZ是经过两个有序的相对旋转即 先绕轴 z 转角，再绕轴 X转角而得；最后再绕 Z轴转角，完成了刚体的 运动。把上述过程用下列方程表示，有（可证一下，下式是否成立）（可证一下，下式是否成立）* MERGEFORMAT (7.19)2, , ,1,1, ,1()( )( )( )zxzzxzvRRRvRRRvRv 式中* , ,C CS C SC SS C CSS RS CC C SSSC C CC S S SS CC MERGEFORMAT (7.20)7.1.3刚体位移矩阵及其逆刚体位移矩阵及其逆空间旋转矩阵描述了任何一个固连在刚体上的向量的旋转，而这个向量，通常5可用刚体上的两个点来表示，其中一个参考点 p 位于向量的尾端，而另一个要 求解的点 q 位于向量的头端。这样刚体的第一个位置（q1p1）与任意位置 （qp）之间的关系可用下式来描述：* MERGEFORMAT (7.21),11()()uqpRqp式中 ，1111()(,)Txyzp