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离散数学模拟试题离散数学模拟试题 1一、一、单项选择题单项选择题(本大题共(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 16 分)分)1.p:a 是 2 的倍数,q:a 是 4 的倍数。命题“除非 a 是 2 的倍数,否则 a 不是 4 的倍数。 ”符号化为( ) ;Apq BqpCpq Dpq2.设解释如下:个体域 Da,b,F(a,a)= F(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1,在解释下,下列公式中真值为 1 的是( ) ;A. xyF(x,y) B. xyF(x,y) C. xyF(x,y) D. xyF(x,y)3.设 G 为 n 阶 m 条边的无向简单连通图,下列命题为假的是A.G 一定有生成树 B.m 一定大于等于 nC.G 不含平行边和环 D.G 的最大度(G)n-14.设 G 为完全图 K5,下面命题中为假的是( )A. G 为欧拉图 B.G 为哈密尔顿图C. G 为平面图 D.G 为正则图5.对于任意集合 X,Y,Z,则A. XY=XZY=Z B. XY=XZY=Z C. XY=XZY=Z D. XY=XZY=Z6.下面等式中唯一的恒等式是A.ABC(AB)=C B. AA=AC. A(BC)=(AB)( AC ) D.A(BC)=(AB)(AC)7.设 R 为实数集,定义*运算如下:a*b=a+b-ab, 则*运算满足A.结合律 B.交换律C.有幺元 D.冥等律8.在有补格 L 中, 求补A. 是 L 中的一元运算 B.一定有唯一的补元C.不一定是 L 中的一元运算 D.可能没有补元.二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 8 小题,每空小题,每空 3 分,共分,共 24 分)请在每小题的空格中填上分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。正确答案。错填、不填均无分。1.含 n 个命题变项的重言式的主合取范式为 .2.设个体域为整数集合 Z,命题xy(xy=1)的真值为 .3.任何一棵非平凡树至少有 片树叶.4.已知 n 阶无向简单图 G 有 m 条边, 则 G 的补图有 条边.G5.设 R=1,1,1,1, 2,3, 3,2,则 domRranR= .6.设 A=1,2, B=1,2,3,则从 A 到 B 的不同函数有 个.7.如果无向连通图 G 有 n 个顶点 m 条边,并且 mn,则 G 中必含有 .8.设 R 为实数集合,h 是 R 上的函数,h(x)=2x,则 h 是从代数系统R,+,0到自身的 .三、简答题(本大题共三、简答题(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分)分)1.设 p:224,q:337,r:448,求下列各复合命题的真值:(1) (pq)r(2) (pr)(qr)(3) (pq) (qr)(4) q(pr)(5) (pq)(pqr)2.求公式x (yF(x,y) zG(x,z)的前束范式.3.已知无向图 G 有 12 条边,1 度顶点有 2 个,2 度、3 度、5 度顶点各 1 个,其余顶点的度数均为 4,求 4 度顶点的个数.4.已知连通的平面图 G 的阶数 n=6,边数 m=8,面数 r=4.求 G 的对偶图 G*的阶数n*,边数 m*,面数 r*.5.设 A=a,b,c,c ,a,b,B=a,b,b,计算(1)AB(2)AB(3)P(B)6.设函数 f:NN,f(n)=2n+1,这里 N 是自然数的集合,回答 f 是否为单射的、满射的或双射的?并说明理由。7.设代数系统 V=Z6, Z6=0,1,5,为模 6 乘法.(1) 给出运算的运算表.(2) 求出所有可逆元素关于运算的逆元.(3) 说明 V 构成什么代数系统.8.设 Zn为模 n 加群,f:Z12Z3,f(x)=(x)mod3,则 f 为同态映射.(1) 说明 f 是否为单同态和满同态.(2) 令 H=x|f(x) =0,计算 H.四、证明题(本大题共四、证明题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分)1.在命题逻辑中构造下面推理的证明:前题:ps,qr, s,pq结论:r2证明在具有 n 个顶点的简单无向图 G 中,至少有两个顶点的度数相同.3.设 A,B,C 为集合,证明 A(B-C)=(A-C) (B-C).4. 设 G 为群,令 C=a|aGxG(ax=xa).证明:C 是 G 的子群。.离散数学模拟试题参考答案离散数学模拟试题参考答案一、单项选择题一、单项选择题1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C二、填空题二、填空题1.1. 2.0. 3.2. 4.(1/2)n(n-1)-m. 5.2,2. 6.9. 7.回路. 8.自同构.三、简答题三、简答题1.由题设,p=1,q=0,r=1.(1) (pq)r(10)1010.(2) (pr)(qr)(11)(01)100.(3) (pq)(qr)(10)(01)(11)(01)111.(4) q(pr)0(11)111.(5) (pq)(pqr)(10)(101)1(011)100.2. x(yF(x,y)zG(x,z)x(yF(x,y)zG(x,z)xyz(F(x,y) G(x,z)xyz(F(x,y)G(x,z).3.设 4 度顶点为 x 个,则根据握手定理,有212=12+2+3+5+4x,解得,x=3,即无向图 G 有 3 个 4 度顶点.4. n=r=4,m=m=8,r=n=6.5. (1)AB=a,b,c,c,a,ba,b,b=a,b.(2)AB=AB-AB=a,b,c,c,a,b,b-a,b=a,b,c,c,b.(3)P(B)= ,a,b,b,a,b,b.6.对n1,n2N,当 n1n2时,f(n1)=2n1+1f(n2)=2n2+1,所以 f 是单射的.ranf=2n+1|nNN,所以 f 不是满射的,从而不是双射的. 7.(1) 运算的运算表为:012345000000010123452024024303030340420425054321(2)由表可知,e=1 为运算的幺元,故 e-1=e,即 1-1=1. 又 55=1,所以,5-1=5,Z6中其余元素皆无逆元.(3)由运算表知,对x,yZ6,有 xyZ6,所以,V 是代数系统;对x,y,zZ6,有(xy)z=(xy)mod6z=(xy)mod6)z)mod6=(xyz)mod6=(x(yz)mod6)mod6=x(yz)mod6=x(yz),所以,运算满足结合律,V 是半群;由(1)知,e=1 为运算的幺元,所以,V 是独异点(幺半群);又由(1)知,Z6中的元素 0,2,3,4 无逆元,所以,V 不是群.综上,V=是独异点,而且是可交换独异点.8.(1)对 3,6Z12,有 f(3)=(3)mod3=f(6)=(6)mod3=0,所以 f 不是单同态的;ranf=0,1,2=Z3,所以,f 是满同态的.(2)对 0,3,6,9Z12,有f(0)=(0)mod3=0,f(3)=(3)mod3=0,f(6)=(6)mod3=0,f(9)=(9)mod3=0,而对xZ12,当 x0,3,6,9 时,f(x)=(x)mod30,故 H=0,3,6,9.四、证明题四、证明题1. s 前提引入ps 前提引入p 拒取式 pq 前提引入q 析取三段论qr 前提引入r 假言推理2.反证法. 设 G 中不存在度数相同的顶点,则由图 G 为简单图可知,G 的顶点的度数列必为:0,1,2,n-1. 删去 0 度顶点后得到的图 G仍然是简单图,且其顶点度数列为:1,2,n-1,与 G是简单图矛盾. 故图 G 中至少有两个顶点的度数相同.3. A(B-C)=A(BC)=ABCC=(AC)(BC)=(A-C)(B-C).4. 显然,eC,C 是 G 的非空子集. a,bC,对xG,有(ab-1)x=a(b-1x)=a(b-1(x-1) -1)=a(x-1b) -1=a(bx-1) -1=a(xb -1)=(ax)b -1=(xa)b -1=x(ab -1),即 ab -1C,由子群判定定理,C 是 G 的子群.
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