113-5 等势面、场强与电势的关系等势面、场强与电势的关系（Potential Surface 、The Relation Between Electric Field Intensity and Potential）电场中电势相等的点所构成的曲面电场中电势相等的点所构成的曲面一、等势面（电势分布的图示法）一、等势面（电势分布的图示法）1. 等势面的规定等势面的规定场中任意相邻的两等势面之 间的电势差相等。场中任意相邻的两等势面之 间的电势差相等。abcEE?cbbaUUUUconst=cbaUUU2以点电荷以点电荷q的电场为例：的电场为例：等势面密集处，场强数值 大，电场线也密集。等势面密集处，场强数值 大，电场线也密集。2. 等势面的性质等势面的性质沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。n?E?等势面等势面n0lim nUEn =00ababAq U=21PPUE dlE n=?3等势面与电力线处处正交。等势面与电力线处处正交。证明：证明：Eabdlq0等 势 面等 势 面电场线的方向指向电势降落，而且是降落得最 快的方向，即由高电位等势面垂直指向低电位等 势面。电场线的方向指向电势降落，而且是降落得最 快的方向，即由高电位等势面垂直指向低电位等 势面。等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强弱。等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强弱。E?而而00dAq dU=00cosdAq E dlq Edl=?cos02Edl=?即即4电场线与等势面电场线与等势面56U1S2Sn?2Pnd?l d?电势梯度电势梯度电势梯度是一个矢量，其方向与该点电势增加率最大 的方向相同，大小等于沿该方向上的电势增加率。电势梯度是一个矢量，其方向与该点电势增加率最大 的方向相同，大小等于沿该方向上的电势增加率。E?E1. 电势梯度电势梯度3P1P二、电场强度与电势梯度的关系二、电场强度与电势梯度的关系dUdU dldncosdndl=cosdUdU dldn=dUgradUndn=UdU+7结论结论gradUndndUE=?A. B. 2. 场强与电势梯度的关系场强与电势梯度的关系ndUEdn= ()coscoslldUdUgradUEEdldn= = =dUU +U gradUE?lgrandU)(lE()nE dnE dnUdUUdU= =+=?8E?l d?dldUEl=在直角坐标中在直角坐标中:)(kzUjyUixUE+=?gradU=因电势为标量，所以计算电场中某点的电势比较方 便，因而由因电势为标量，所以计算电场中某点的电势比较方 便，因而由gradUE=?E?可更方便地求得可更方便地求得xUEx= zUEz= yUEy= 9电势为零的地方，场强不一定为零。不一定等于零。电势为零的地方，场强不一定为零。不一定等于零。q+qo场强为零的地方，电势不一定为零。场强为零的地方，电势不一定为零。q+-qo+ +q)(rE? aR0, 0=EU?0, 0=EU?电势不变的空间场强一定为零。电势不变的空间场强一定为零。dldUEl=讨论讨论:不是指等 势面上不是指等 势面上0,UUl=,0Uconst E=10例例1：已知点电荷的电势已知点电荷的电势E?求求解：解：r?+XYZ三、场强与电势关系的应用三、场强与电势关系的应用222rxyz=+222 04qU xyz= +2223/2 04()xUqxExxyz= =+2223/2 04()yUqyEyxyz= =+04qUr=112223/2 04()zUqzEzxyz= =+kzUjyUixUE =?2/3222 0)(4)( zyxkzj yi xq +=rrq42 0=12例例2：均匀带电圆盘轴线上任一点均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为的电势为求场强分布。求场强分布。 解：解：R XP x220()2pURxx =+UEix= ?220()2Rxxix = +22 0(1)2xi Rx = +13例例3：有一平面电场，有一平面电场，求场强并大致地画出电力线与等势面。求场强并大致地画出电力线与等势面。oXY解：解：jjjjE?34Uxy=+EgradU= ?UUijxy= 34 (V/m)ij= ?233.1=?4arctanarctan3yxEE=