三角形內的比例線段(五)劉俊傑一. 前言大約十年前, 筆者曾在數學傳播第十九卷第二期中, 以 三角形內的比例線段 為題, 寫過一篇短文 1。 該文的主要內容, 是從 Menelaus 定理出發, 建立了一套三角形內兩相交線段,所產生出的比例關係式, 共計有六組三十七個等式, 合稱為 線基公式。 隨後以這套公式做為基礎, 討論了一系列所謂 比例三角形 內點共線及線共點的問題, 陸續又做了三篇短文 2 34, 這些短文請至中央研究院數學研究所的網站上查詢。在之前的四篇文章中, 為了要證明一個由比例所決定的三線共點的論題, 論證中常要利用到兩個甚至更多的線基公式, 作為論據。 後來發現到, 我們可以嘗試將幾個線基公式加以合併,而得到能夠直接就判定三線是否共點的比例關係式, 這就是本文中所要介紹的三個主要命題。根據這三個命題, 我們可以討論在某些特定比例值條件下的三線共點的性質。事實上, 大家所熟悉的 Ceva 定理, 就是一個以比例值來判別三角形內三線段是否共點的標準, 而本文中的命題一就是嘗試要將 Ceva 定理做進一步的推廣。本文命題的論證中, 有引用到幾個在 三角形內的比例線段 1 所介紹的線基公式, 為了證明的完整性, 在此先將這幾個公式列出, 以提供各位參考。(一) 公式 IV-(1)若AD DB=a b,AE EB=c d,CF FA=e f,CG GA=g h,則EH HG=f(g + h)(bc ad) a(c + d)(fg eh)。 (如圖 A)圖A(二) 公式 IV-(4)若AD DB=a bAE EB=c d,CF FA=e f,CG GA=g h,則DH HF=h(e + f)(bc ad) c(a + b)(fg eh)。 (如圖 A)46三角形內的比例線段(五)47(三) 公式 V-(1)若AD DB=a b,BE EC=c d,CF FA=e f,CG GA=g h,則GH HE=a(c + d)(fg eh) (h + g)(bdf + ace)。 (如圖 B)圖B(四) 公式 V-(4)若AD DB=a b,BE EC=c d,CF FA=e f,CG GA=g h,則DH HF=(e + f)(acg + bdh) d(a + b)(fg eh)。 (如圖 B)二. 判別共點的三個命題命題一: 在 ABC 中, 設 D, F 在 AB 邊上; H, E 在 BC 邊上; G, I 在 CA 邊上,且AD DB=a b,AF FB=c d,BH HC=e f,BE EC=g h,CG GA=i j,CI IA=k l, 那麼 DE, FG, HI 三線段共點, 若且唯若cek+dfl fjkfil=bcgadg bhj+agi。 (如圖1)證明:(1) 充分條件令 DE, FG, HI 三線段相交於點 O將已知AF FB=c d,BH HC=e f,CG GA=i j,CI IA=k l,代入公式 V-(4), 得到FO OG=(i + j)(cek + dfl) f(c + d)(jk il)再將已知BE EC=g h,CG GA=i j,AD DB=a b,AF FB=c d,代入公式 V-(1), 得到FO OG=g(i + j)(bc ad) (c + d)(bhj + agi)比較上述兩式即可得證cek + dfl fjk fil=bcg adg bhj + agi。圖1(2) 必要條件令 FG, HI 相交於 O 點, 延長 DO 交 BC 於 E1, 設BE1 E1C=g1 h1,48數學傳播29卷2期 民94年6月根據 (1) 有cek + dfl fjk fil=bcg1 adg1 bh1j + ag1i由已知得到bcg adg bhj + agi=bcg1 adg1 bh1j + ag1i計算化簡為g1 h1=g h也就是說BE1 E1C=BE EC經合比得 BE1= BE, 此即 E1= E所以 DE, FG, HI 三線段共點。說明:1. 命題一為三角形的三邊上各有兩個內分點的情形。2. 我們可稱cek + dfl fjk fil=bcg adg bhj + agi為這種共點情形的判別式。3. 必要條件的證明中, 所用的方法稱為 “同一法” 5。例1: Ceva Theorem (西瓦定理)在 ABC 中, 設 F 在 AB 邊上; E 在 BC 邊上; I 在 CA 邊上, 若 AE, BI, CF三線段共點, 則AF FBBE ECCI IA= 1。 (如圖2)證明: 考慮命題一的條件, 我們僅需將AD, BH, CG 視為零, 即可得證西瓦定理。 設AD DB=0 1,AF FB=c d,BH HC=0 1,BE EC=g h,CG GA=0 1,CI IA=k l,根據命題一 得dl k=cg h也就是AF FBBE ECCI IA= 1。由此可知: 命題一為西瓦定理的推廣, 西瓦定理就是當三角形的三邊上各有一個內分點為端點的情形。 由於命題一可推導出西瓦定理, 所以可利用西瓦定理證明的幾何性質, 自然也就可以由命題一得證。 例如: 重心定理、 內心定理及垂心定理等的共點性質。圖2例2: 設 ABC 的兩條角平分線 AD、 BE 交於 I, M 是 AB 邊中點, 直線 MI 與CA 交於 P。 已知: BC = a, CA = b, AB = c, 求 AP 之長。 (如圖3)(本例題取自張景中教授所著 平面幾何新路6)三角形內的比例線段(五)49圖3解: 由角平分線定理和已知條件, 設CP PA=1 x,CE EA=a c,AA AB=0 1(退化),AM MB=1 1,BB BC=0 1,BD DC=c b,代入命題一得到bc c=ax c x化簡為 x =c a b所以AP AC=c abc ab+1=c ab+c, AP =bc ab+c。建議各位讀者有機會, 不妨試用本文中所介紹的公式, 解出一些書本上的習題。依據命題一, 我們可以討論某些求特定條件下的比例值的問題, 如下述的例3。例3: 在 ABC 中, 設 D, F 在 AB 邊上; H, E 在 BC 邊上; G, I 在 CA 邊上, 且AD DB=1 x,AF FB=y 1,BH HC=1 x,BE EC=y 1,CG GA=1 x,CI IA=y 1, 若 DE, FG, HI 三線段共點, 求x 與 y 的比例關係式。 (如圖4、5)解: 將已知條件代入命題一得y2+ x x2y x=xy2 y x2+ y 化簡為 x3y3 x3 y3 3x2y2= 0令 y = kx, k 0, 代入上式化簡為k3x3 3k2x k3 1 = 0 因式分解kx (k 1)k2x2+ (k2+ k)x + (k2 k + 1) = 0後項二次多項式的判別式為 3k2(k 1)2恆小於零。因此只有 x =k+1 k的實數解, 此時 y = k + 1。圖4例如:k = 1 時 x = 2, y = 2 (如圖4)k = 2 時 x =3 2, y = 3 (如圖5)說明:(1) 此例題的條件也可以寫成AD DB=BH HC=CG GA, 且AF FB=BE EC=CI IA。圖550數學傳播29卷2期 民94年6月圖5-1(2) 觀察 k 值的增減可以看到 D, F, H, E, G, I 等六個比例點, 相關位置的連續變化情形。 由於 limkk k+1 = 1, 且 limk1 k+1= 0, 這表示說當 k 值越來越大 (如圖5-1, 為 k = 5 的圖形), 趨近於無限大時,F 點接近頂點 B, E 接近 C, I 接近 A, 同時 D、H、 G 則接近中點。 其次因為 limkk k+1= 0, 且limk0k+1 1= 1, 這表示說當 k 值越來越小, 趨近於零時, D 點接近頂點 A, H 接近 B, G 接近 C, 同時F、 E、 I 則接近中點。有趣的是在這兩種極限情況下, DE、 FG 與 HI 就都將會成為 ABC 的三條中線。可以證明的, 這一類圖形的三線共點位置都會落在三角形的重心上。例4: 在 ABC 中, 設 D, F 在 AB 邊上; H, E 在 BC 邊上; G, I 在 CA 邊上, 且AD DB=t t+1,AF FB=t+1 1,BH HC=t t+1,BE EC=t+1 1,CG GA=t t+1,CI IA=t+1 1, 求證 DE、 FG 與HI 的共點位置在 ABC 的重心上。 (如例3的圖4、5)證明: 首先證明 DE、 FG 與中線 AM 共點 (如圖6)AD DB=t t+1,AF FB=t+1 1,BM MC=1 1,BE EC=t+1 1,CG GA=t t+1,AA CA=0 1, 代入命題一, 有 (cek + dfl)(bhj + agi) = t2+ t + 1 且(bcg adg)(fjk fil) = t2+ t + 1, 因此三線共點,其次證明此交點即為重心,設 FG 與中線 AM 交於 O 點,將AF FB=t+1 1,BM MC=1 1,CG GA=t t + 1,代入公式 III-3計算出AO OE=(t + 1)(t + 1)2 t(t + 1) + (t + 1)= 2圖6得證點 O 為 ABC 的重心同理可證, DE 與 HI 的交點位置也在 ABC 的重心上由例3知 DE、 FG 與 HI 共點,得證 DE、 FG 與 HI 的共點位置在 ABC 的重心上。三角形內的比例線段(五)51命題二: 在 ABC 中, 設 D, F, H 在 AB 邊上; E 在 BC 邊上; G, I 在 CA 邊上,且AD DB=a b,AF FB=c d,AH HB=e f,BE EC=g h,CG GA=i j,CI IA=k l, 那麼 DE、 FG 與 HI 三線段 共點, 若且唯若l(decf) e(bcad)=g(jkil) bhj+agi。 (如圖7)證明:(1) 充分條件令 DE、 FG 與 HI 三線段相交於 O 點將已知AF FB=c d,AH HB=e f,CG GA=i j,CI IA=k l,代入公式 IV-(4),得到FO OG=l(i + j)(de cf) e(c + d)(jk il),圖7再將已知BE EC=g h,CG GA=i j,AD DB=a b,AF FB=c d,代入公式 V-(1),得到FO OG=g(i + j)(bc ad) (c + d)(bhj + agi)比較上述兩式即可得到關係式l(de cf) e(bc ad)=g(jk il) bhj + agi。(2) 必要條件必要條件的證明, 如同命題一, 可以用同一法得證, 在此省略。說明:1. 命題二為三角形三邊上各有三、 一、 二個內分點的情形。2. 我們可稱l(decf) e(bcad)=g(jkil) bhj+agi為這種共點情形的判別式。如同前面的例題3, 根據命題二, 我們可以特別設定某些比例條件, 來討論三角形內三線共點的性質。例5: 在 ABC 中, 設 D, F, H 在 AB 邊上; E 在 BC 邊上; G, I 在 CA 邊上, 且AD DB=1 x,AF FB=y 1,AH HB=x 1,BE EC=y 1,CG GA=1 x,CI IA=1 y, 那麼 DE、 FG 與 HI 三線段共 點, 求 x 與 y 的比例關係式。 (如圖8)解: 將已知條件代入命題二得y(xy) x(xy1)=y(xy) x2+y52數學傳播29卷2期 民94年6月化簡為 x2y x2 x y = 0令 y = kx, k 0,