3 33 3 幂函数幂函数1了解幂函数的概念，会画出幂函数yx，yx2，yx3，y ，的图象1 x1 2yx 2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质 3会用几个常见的幂函数性质比较大小1幂函数 一般地，我们把形如yx(R R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，为常 数 幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合，因的不同，定义域也不同，如函数yx2的定义域为 R R，而函数y 的定义域为x|xR R，且x01 x判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x的系数为 1，指数位置的为一个常数， 或者经过变形后满足条件的均可 【做一做 1】下列函数是幂函数的有_ yx2y1 x yx3x y2x yx3 答案：答案： 2幂函数的图象与性质函数yx，yx2，yx3，yx1，在同一平面直角坐标系中的图象如图所1 2yx 示从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做 21】，的大小关系是_1 41 2a1 61 3b1 81 5c 答案：答案：abc【做一做 22】函数的奇偶性是_，单调性是_3 5yx 答案：答案：奇函数 在 R R 上单调递增 【做一做 23】函数yx2的值域为_ 答案：答案：(0，)当n取不同的有理数时，幂函数yxn的图象及性质剖析：剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n 是既约分数：p q (1)如下表所示： yxn奇函数(p奇q奇)偶函数(p偶q奇)非奇非偶函数(q偶)n10n 1n0(2)当nN N*时，定义域为 R R； 当n0 时，定义域为x|x0； 当n为负整数时，定义域为x|x0；当n (p，qN N*，q1，且p，q互质)时，若q为偶数，则定义域为0，)，p q 若q为奇数，则定义域为 R R，当n (p，qN N*，q1，且p，q互质)时，若q为偶数，则定义域为(0，)，p q 若q为奇数，则定义域为x|x0 (3)在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1) 当n0 时，图象都通过原点，并且在(0，)上的图象是上升的，向上无限伸展， 是增函数；当n0 时，图象是除去点(0,1)的直线y1；当n0 时，图象都不过原点， 并且在(0，)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数 在直线x1 的右侧，指数n越大图象位置越高题型一 幂函数的性质 【例 1】当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，求实数m的 值 分析：幂函数的一般形式为yx，说明其系数为 1，由此确定m值 解：由条件得Error!解得m2. 反思：对于幂函数yx来说，其系数为 1，当题目中还有其他性质时，必须根据此 性质写出约束条件本题函数在(0，)上为减函数，说明指数小于 0. 【例 2】将四个数 1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列 分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不 能混淆两种函数 解：因为函数y1.2x在 R R 上单调递增， 所以 1.20.61.20.51.201. 因为函数yx1.2在(0，)上单调递增， 所以 0.51.20.61.211.21. 综上所述，0.51.20.61.21.20.51.20.6. 反思：在函数值的大小比较中，0 和 1 是两个特殊值，它们起着桥梁作用 题型二 幂函数的图象及其应用 【例 3】画函数y1的草图，并求出其单调区间3x 分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作 图一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便 解：y11.3xx3 此函数的图象可由下列变换而得到： 先作函数y的图象，作其关于y轴的对称图象，即y的图象，将所得图象向xx 右平移 3 个单位，向上平移 1 个单位，即为y1的图象(如下图所示)3x从图象知y1的单调递减区间为(，33x 反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二 是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了【例 4】已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，2(2，1 4) 问当x为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)? 解：设f(x)xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(，2)代入f(x)22 xa中，得 2()a，解得a2，即f(x)x2；2设g(x)xb，因为点在幂函数g(x)的图象上，将点代入g(x)xb中，(2，1 4)(2，1 4)得 (2)b，解得b2，即g(x)x2.1 4 在同一平面直角坐标系中作出f(x)x2与g(x)x2的图象如图所示 由图象可知：(1)当x1，或x1 时，f(x)g(x)；(2)当x1，或x1 时，f(x)g(x)； (3)当1x1 且x0 时，f(x)g(x) 反思：幂函数的一般形式是yx(为常数)，要求幂函数的解析式只要解出即 可1 函数图象的大致形状是_2 3yx答案：答案： 2 已知函数f(x)(a1)xa2a1， 当a_时，f(x)为正比例函数； 当a_时，f(x)为反比例函数； 当a_时，f(x)为二次函数； 当a_时，f(x)为幂函数 解析：解析：当f(x)为正比例函数时，Error! 即a2； 当f(x)为反比例函数时，Error! 即a0 或a1； 当f(x)为二次函数时，Error!即a；1 132 当f(x)为幂函数时，a11，即a2.答案：答案：2 0 或1 21 1323 设，则使函数yx的定义域为 R R 且为奇函数的所有的值为1，1，1 2，3 _ 答案：答案：1,3 4 比较下列各组中两个值的大小：(1)和；3 51.53 51.6 (2)0.180.3和 0.150.3.解：(1)因为函数在 R R 上单调递增，3 5yx又 1.51.6，所以.3 51.53 51.6 (2)因为函数yx0.3在(0，)上单调递减， 又 0.180.15， 所以 0.180.30.150.3.5 求出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f的大小x24x5 x24x4(22)解：f(x)11(x2)2，x24x41 x24x41 x24x4 它是由g(x)x2向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度而得到的g(x)的单调增区间是(，0)，单调减区间是(0，)，f(x)的单x24x5 x24x4 调增区间是(，2)，单调减区间是(2，)，f(x)的图象关于直线x2 对称(，2)，(2，)，且2()(2)，f2222f()(22)