1.11.1 锐角三角函数锐角三角函数教学目标教学目标 (一)教学知识点1.经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步 体会三角函数的意义.2.能够进行 30、45、60角的三角函数值的计算.3.能够根据 30、45、60的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的 能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点教学重点1.探索 30、45、60角的三角函数值.2.能够进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点教学难点进一步体会三角函数的意义. 教学过程教学过程.创设问题情境，引入新课问题为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含 30和 60两个锐角的 三角尺；皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) 生我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线 恰好和斜边重合且过树梢 C 点，30的邻边和水平方向平行，用卷尺测出 AB 的长度，BE 的长度，因为 DE=AB，所以只需在 RtCDA 中求出 CD 的长度即可.生在 RtACD 中，CAD30，ADBE，BE 是已知的，设 BE=a 米，则 ADa 米， 如何求 CD 呢?生含 30角的直角三角形有一个非常重要的性质：30的角所对的边等于斜边的一 半，即 AC2CD，根据勾股定理，(2CD)2CD2+a2.CD33a.则树的高度即可求出.师我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出 30的正切值，在上图中，tan30=aCD ADCD，则 CD=atan30，岂不简单.你能求出 30角的三个三角函数值吗?.讲授新课1.探索 30、45、60角的三角函数值.师观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?生一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30、60、45、45.师sin30等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.生sin3021. sin30表示在直角三角 形中，30角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设 30角所对的边为 a(如图所示)，根据 “直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于 2a.根据勾股定理，可知 30角的邻边为 a，所以 sin3021 2aa.师cos30等于多少?tan30呢?生cos3023 23aa.tan30=33 31 3aa师我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45、60，它们的 三角函数值分别是多少?你是如何得到的?生求 60的三角函数值可以利用求 30角三角函数值的三角形.因为 30角的对边和邻边分别是 60角的邻边和对边.利用上图，很容易求得 sin60=23 23aa,cos60=21 2aa,tan6033aa.生也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知 sin60cos(90-60)cos30=23cos60=sin(90-60)=sin30=21.师生共析我们一同来 求 45角的三角函数值.含 45角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边2a.由此可求得sin45=22 21 2aa,cos4522 21 2aa,tan45=1aa师下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30、45、60角的三角函数值三角函数角sincotan302123 334522 2216023 213这个表格中的 30、45、60角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列 30、45、60角 的正弦值，你能发现什么规律呢?生30、45、60角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.师再来看第二列函数值，有何特点呢?生第二列是 30，45、60角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.师第三列呢?生第三列是 30、45、60角的正切值，首先 45角是等腰直角三角形中的一个 锐角，所以 tan45=1 比较特殊.师很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对 30、45、60角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.2.例题讲解(多媒体演示)例 1计算：(1)sin30+cos45；(2)sin260+cos260-tan45. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三 角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin260表示(sin60)2，cos260表示(cos60)2.解：(1)sin30+cos45=221 22 21,(2)sin260+cos260-tan45=(23)2+(21)2-1=43+41-10.例 2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结 果精确到 0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能 力.解：根据题意(如图) 可知，BOD=60， OB=OAOD=2.5 m，AOD216030，OC=ODcos30=2.5232.165(m).AC2.5-2.1650.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.随堂练习多媒体演示1.计算：(1)sin60-tan45；(2)cos60+tan60；(3) 22sin45+sin60-2cos45.解：(1)原式23-1=223 ；(2)原式=21+=23213(3)原式=2222+2322；=222312.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30.高为 7 m，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为217 30sin7=14(m)，所以扶梯的长度为 14 m.课时小结本节课总结如下：(1)探索 30、45、60角的三角函数值.sin3021，sin4522，sin6023；cos3023，cos45 22，cos6021；tan30= 33，tan451，tan60=3.(2)能进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.(3)能根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应锐角的大小.课后作业见课课通.活动与探究 (2003 年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 ABCD =30 m，两楼问的距离 AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为 30时，求甲 楼的影子在乙楼上有多高?(精确到 0.1 m，21.41，31.73)过程根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶 E，直射到乙楼 D 点，D 点向下便接受不到光线，过 D 作 DBAE(甲楼).在 RtBDE 中.BD=AC24 m，EDB30.可 求出 BE，由于甲、乙楼一样高，所以 DF=BE.结果在 KtBDE 中，BE=DBtan302433=83m.DFBE，DF=8381.7313.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高 CD=30-13.8416.2(m). 备课参考资料参考练习1.计算：132 30sin1 .答案：3-32.计算：(2+1)-1+2sin30-8答案：-23.计算：(1+2)0-1-sin301+(21)-1.答案：254.计算：sin60+60tan11答案：-215.计算；2-3-(0032+)0-cos60-211 .答案：-283