数学教学设计数学教学设计教教 材：材：义务教育教科书数学（九年级下册）7.17.1 正切（正切（1 1）教学目标教学目标1认识锐角的正切的概念；2经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；3激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识教学重点教学重点计算一个锐角的正切值的方法教学难点教学难点计算一个锐角的正切值的方法教学过程（教师）教学过程（教师）学生活动学生活动设计思路设计思路新课引入新课引入情景导入情景导入问题 1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡如图 1，哪个台阶更陡？ 大多数学生会根据自己的生活经验来判断第二个台阶更陡一些，学生的回答大多是建立在倾斜的程度（实际上就是倾斜的角度） 较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡问题 2：如图 2，哪个台阶最陡？你是如何判断的？ 学生继续思考，寻找特点：1、两个水平宽度相同（都为 8） ，高度不同，中的高度（为 6）高于中的高度（为 4） ，所以比陡2、两个高度相同（都为 6） ，水平宽度不同，中的水平宽度（为 8）小于中的水平宽度（为 12） ，所以比陡综合 1，2 可得，最陡由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡图 184 86图 2612问题 3：如图 3，在图 2 中的、两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？学生积极思考，寻找突破：可以引导学生从相同的水平宽度或者相同的高度来比较它们的倾斜程度比如：如图 3，在中从左向右截取水平宽度与相同（为 8） ，利用三角形相似就可以求出此时所对应的高度，发现高度（为 6）与中所对应的高度（为 6）相等所以它们的倾斜程度一样，即它们一样陡始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，把新知识的特点不知不觉、一步一步地呈现出来，正所谓“生其自然、成其必然” 实践探索实践探索问题 4：如图 4，一般地，如果锐角 A 的大小确定，我们可以作出 RtAB1C1、RtAB2C2、RtAB3C3那么，你有什么发现呢？观察、思考，并归纳、小结：可以得到 RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3根据相似三角形的性质，得333222111 ACCB ACCB ACCB也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定经过前三个问题的探究，学生似乎体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图形进行准确地符号表达通过数形结合的思维训练来探索数学规律，学习数学概念，有利于提高教学的有效性图 3861284 C3B3C2B2C1B1A图 4总结提升总结提升如图 5，在 RtABC 中，C90，a、b 分别是A 的对边和邻边我们将A的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切（tangent） ，记作 tanA，即tanA的邻边的对边 AA ACBC ba你能用同样的方法写出B 的正切吗？类比、归纳：如图 6，在 RtABC 中，C90，b、a 分别是B 的对边和邻边.那么，tanB的邻边的对边 BB BCAC ab类似地，让学生类比出B 的正切的表示方法趁热打铁，让学生表示出B 的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标例题例题例 1 如图 7，在 RtABC 中，C90，AC4，AB5，求tanA、tanB拓展：通过计算 tanA、tanB 的值，你有什么新的发现吗？发表意见，表达观点，相互补充参考答案：解：在 RtABC 中，BC，34522tanA，tanB43ACBC 34BCAC从而发现 tanA 与 tanB 互为倒数，即tanAtanB1而且，根据定义，我们发现tanAtanB1，所以，我们能得到互ba ab余两个角的正切值互为倒数师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解例题例题例 2 如图 8，在等边三角形 ABC 中，AB2，求 tanA发表意见，表达观点，相互补充参考答案：解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D，则AD在 RtACD 中，CD121AB例 2 主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要在该角所在的直角三角形中实现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力A邻边 bC对边 aB图 5A对边 bC邻边 aB图 6图 7A4CB5图 82DCBA拓展：通过计算 tanA 的值，你对 60 的正切值有什么认识？30 呢？你还能得到其他的吗？，tanA312223ADCD从而发现 tan60，而ACD30，3tanACD，即 tan3033CDAD 33利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan451适时的问题拓展，开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间练习练习1如图 9，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值2如图 10，在 RtABC 中，C90，AB10，tanA，求 AC、BC 和 tanB43运用本节课所学数学知识解决问题参考答案：1解：在 RtABC 中，tan A，tanB125ACBC 512BCAC在 RtABC 中，AC，8151722tanA，tanB815ACBC 158BCAC在 RtABC 中，AC，625722tanA，tanB1265625ACBC652BCAC2解：在 RtABC 中，tanA43设 BC 为 3m，则 AC 为 4m，所以 tanB又因为 AB10，所以34 34mm BCAC，所以，22210)4()3(mm)2-(2 舍去m所以 BC3m6，则 AC4m8检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力 让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值其中的第三个图形的设计让第三边 AC 的结果不是整数（为） 62练习 2 是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值（tanA，不代43表 BC3，AC4） 练习 2 的处理可以在学生充分讨论交流的基础上，教师给出适当的引导（比如：可以设 BC 为 3m 等） A10BC图 10图 95 A 12BCB1517ACC57A B小结小结通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家共同小结师生互动，总结学习成果，体验成功课后作业课后作业1课本 P99 习题 7.1 第 1、2 题；2思考题（选做）：你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题选做题解法较多，但又不规定必须用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做这样就能实现“课程标准”中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展” 5375