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第九章第九章 从面积到乘法公式从面积到乘法公式 单元总结提升单元总结提升单元总结归纳单元总结归纳一、本章的知识框图一、本章的知识框图二、重点、难点突破二、重点、难点突破重点:重点:(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(二)单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即a(bcd)= abacad.2.其几何意义为:3.单项式与多项式相乘的步骤:(1)按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式;(2)进行单项式的乘法运算.(三)多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.2.其几何意义为:3.多项式与多项式相乘的步骤:(1)用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项;(2)把所得的积相加.(四)乘法公式1. 完全平方式公式:(ab)2= = a22ab+b2.(1)特征:完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方,右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍.可概括为“首平方,尾平方,乘积 2 倍放中央,中央符号回头望”.(2)语言叙述:两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的 2 倍的和;两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的 2 倍的差(3)几何意义:(a+b)2= = a2+2ab+b2、 (a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式:(a+b) (a-b)=a2-b2.(1)特征:公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差,而公式的右边恰好是这两个数的平方差.(2)语言叙述:两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.(3)几何意义:5.因式分解(1)因式分解与整式乘法的区别与联系:把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.(2)提公式法分解因式:提公因式的依据是乘法分配律,其实质是分配律的“逆用” ;提公因式分解因式的步骤是:a.找出多项式各项的公因式;b.提出多项式的公因式;提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式,当一个多项式的公因式正确找出后,需要提取公因式,此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式;也可以用原多项式去除以公因式,所得的商即为提出公因式后,剩下的另一个因式.(3)公式法分解因式:平方差公式分解因式:a2b2=(a+b)(ab),两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式:a22abb2(ab)2,两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和(或差)的平方.难点:难点:1. 单项式与单项式相乘,应注意:(1)先把各因式里的系数组成一组,积的系数等于各因式系数的积,即进行有理数的乘法运算,先确定积的符号,再计算绝对值;(2)相同字母相乘时,利用同底数幂的乘法法则“底数不变,指数相加” ;(3)对于只在一个单项式中出现的字母,应连同它的指数一起写在积里,注意不能漏掉这部分因式;(4)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先乘方,再乘法”的顺序进行;(5)单项式与单项式相乘的积仍是单项式,对于字母因式的幂的底数是多项式形式的,应将其作为一个整体来运算;(6)对于三个或三个以上的单项式相乘,法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意:(1)单项式与多项式相乘,结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相同;(2)计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,为了避免发生符号上的错误,计算时可以分为两步:先把“-”号放在括号外,把单项式与多项式相乘,然后去括号;(3)在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意:(1)运算时要按一定的顺序进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项之前,应是两个多项式项数的积;(2)多项式是几个单项式的和,每项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号;(3)运算结果有同类项的要合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式(1)运用完全平方公式时应注意:明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式;分清公式中的 a、b 分别代表什么;结果是三项式,首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方,中间项是左边两项的积的二倍,尤其是中间项的二倍不能忘记.(2)运用平方差公式时应注意:首先明确能否利用平方差公式计算(能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和,另一个二项式是这两数的差,我们把符号相同的数看作是 a,把符号相反的项看作是 b) ;结果是平方差,且两个数(项)的位置不能弄错;必须注意系数、指数的变化(3)灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样” ,在此前提下再认真地对题目进行细致观察,想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧,把式子凑成公式的“模样” ,然后就可以应用公式进行计算了,这里关键是要善“变”.5.因式分解(1)对因式分解结果的约定:a.与原多项式相等;b.为积的形式,即从整体上看,最后结果应是一些因式的乘积;c.每个因式都是整式;d.在指定数集里,每个多项式不能再分解.e.形式最简.(2)用提公因式法分解因式应注意:a.公因式要提尽;b.小心漏项,提公因法分解因式后,括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同;c.提取公因式后的多项式首项一般取正号;d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程,所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性;e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时,要特别注意统一式子中字母的顺序;f.提公因式要干净彻底,也就是说当把多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式:如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式;如果多项式是三项,其中两项同号,且能写成两数的平方和的形式,另一项是这两数乘积的 2 倍,可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时,还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意:1.如果多项式各项有公因式,应先提公因式,再进一步分解;2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止;3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即:“一提” 、 “二套” 、 “三查”.特别强调“三查” ,检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式,还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新整合拓展创新类型之一、类型之一、基本概念型基本概念型例 1 下列变形中哪些变形是因式分解,哪些是整式乘法?(1)8a2b3c=2a2b2b32c (2)3a2+6a=3a(a+2)(3)x2=(x+)(x) 21 yy1 y1(4)x24+3x=(x+2)(x2)+3x(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a5b)=4a225b2【思路分析思路分析】因式分解必须是左边是多项式,右边整体是积,且每个因式都是整式,它与整式乘法是互逆的恒等变形.解:(2)是因式分解, (6)是整式乘法.【点评点评】本题旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识.变式题变式题 下列变形中,因式分解对不对?为什么?(1)x2yxy2=xy(xy) (2)a32ab+ab2=a(ab)2=a(a22ab+b2)(3)62ab4ab2+2ab=2ab(3a2b)(4)4a2100=(2a+10)(2a10)(5)a2b2=(ab)2提示: 第(2)题提取公因式 a 后,括号里是 a2-2b+b2,不是完全平方式;第(3)出现了漏项;第(4)题没有分解彻底,应先提取公因式 4,再用平方差公式;第(5)题混淆了两个乘法公式.解:只有(1)是正确的.【说明说明】此题旨在提醒学生常出现的错误,1、剩下的 1 漏写;2、没有先提公因式分解不完全;3、平方差与差平方相混,尤其是(2)中是学生常见错误类型,原因是学生对整式乘法先入为主,而对因式分解的本质没有完全理解,形成心理学上的“倒摄抑制”效应,应提醒学生注意.类型之二、基本运算型类型之二、基本运算型1.1.整式乘法的运算整式乘法的运算例例 2 2 先规定一种运算:ab=ab+a-b,其中 a、b 为有理数,则 ab+(b-a)b 等于( )A.a2-b; B.b2-b; C.b2; D.b2-a.【思路分析思路分析】在(b-a)b 中,把(b-a)看作是规定运算中的 a,展成一般形式后用整式的乘法进行运算.解:ab+(b-a)b= ab+a-b+ (b-a)b+(b-a)-b= ab+a-b+b2-ab+b-a-b= ab+a-b+b2-ab-a= b2-b.选 B.【点评点评】解决这类问题,理清题目意思是解题关键.变式题变式题 已知:A=2x2+3xy-y2,B=- xy,C= x3y3- x2y4.求:2AB2-C.21 81 41提示:直接代入计算,在复杂的式子计算中,先算乘方,再算多项式乘法,最后合并同类项.解:2AB2-C=2(2x2+3xy-y2) (- xy)2-(x3y3- x2y4)21 81 41=(4x2+6xy-2y2) (x2y2)-x3y3+ x2y441 81 41=x4y2+x3y3-x2y4-x3y3+ x2y423 21 81 41= x4y2+x3y3- x2y4.811 41例例 3 3 计算:(1)3(m+1)2-5(m+1) (m-1)+2(m-1)2;(2)(4xn+1-y)2+4y(xn-)8x2.21 16y【思路分析思路分析】利用乘法公式展开后计算.解:(1)原式=3(m2+2m+1)-5(m2-1)+2(m2-2m+1)=3m2+6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10;(2)原式=(16x2n+2-4xn+1y+ y2+4xny- y2)8x241 41=(16x2n+2-4xn+1y+4xny)8x2=2x2n-xn-1y+xn-2y.21 21【点评点评】在整式的运算中,为了运算简捷,要尽量利用乘法公式计算,混合运算要注意运算顺序.尽管(2)中出现了多项式除以单项式运算,但应用倒数可将除法转化为乘法运算,即(m+n)a=(m+n)=m+n=ma+na.可见掌握转化思想,可以探索新知识,a1 a1 a1解决新问题.变式题变式题 计算:(1) (a+b+c-d) (a-b+c+d) ; (2) (x+1) (x+2) (x+3) (x+4).提示: (1)建立平方差公式的模型后求解;(2)将(x+1)与(x+4) , (x+2)与(x+3)先分别相乘.解:(1)观察运算符号,两多项式中 a、c 符号相同,b、d 符号相反,因此可以把a、c 结合在一起,看成一项,把 b、d 结合在一起,看成另一项,应用平方差公式计算.原式=(a+c)+(b-d)(a+c)-(b-d)=(a+c)2-(b-d)2=a2+2ac+c2-b2+2bd-d2;(2)经过观察 1+4=2+3,因此将(x+1) (x+4)和(x+2) (x+3)先分别相乘,出现相同部分 x2+5x,再视其为整体进行运算.原式=(x+1) (x+4) (x+2) (x+3)= x2+5x+4 x2+5x+6= ( x2+5x)+4 (x2+5x)+6= ( x2+5x)2+10( x2+5x)+24=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24= x4+10x3+35x2+50x+24.2.2.因式分解因式分解例例 4 4 (1)分解因式:2
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