初中数学竞赛辅导资料（59）“或者”与“并且”甲内容提要甲内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如： 正整数 a 是 3 或 5 的倍数，那么 a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15； 如果正整数 b 是 3 的倍数且是 5 的倍数，那么 b=15，30，45，60，. 在正整数中，设 3 的倍数的集合为 P，5 的倍数集合为 Q，那么 ： a 是 P 和 Q 两个集合中的所有元素，而 b 是这两个集合中的公共元素. 是方程 x+y=1 的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当 . 12yx，x=2 并且 y=1 时，等式 x+y=1 成立.等价于 x=2 并且 y=1. . 12yx，记作 x=2 并且 y=1. 12 yxx=2, x=2 是方程 x24=0 的两个解. 即当 x=2 或者 x=2 时，等式 x24=0 成立. x=2 或 x=2 可记作 x=2 . 即 x=2 x=2 或 x=2. 2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.x4x4 或 x=4.44 且 x2 (实数 x 记在数轴上)如图：2 0 23. 判断带有“或者”词义的命题的真假： 第一种，命题结论带有“或者”的. 例如： 命题 32，读作 3 大于 2 或等于 2，它是真命题. 因为“3 大于 2” ，“3 等于 2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题. 命题“如果 a=0,那么 a20” ，也是真命题，因为这个命题等价于：若 a=0, 则 a20 或 a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如 命题“如果 a0，则 a2=0”. 读作如果 a=0 或 a0, 则 a2=0. 它是假命题 因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 若 a=0,则 a2=0 且若 a0，则 a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题. 方程和方程组的解：方程( xa)(xb)=0， 同解于 xa=0 或者 xb=0.方程组 同解于 xa=0 并且 xb=0. . 00 bxax， 不等式和不等式组的解集： 不等式组 等价于 x+a0 并且 x+b0. . 00 bxax，不等式(x+a)(x+b)0 等价于 或者 ；， 00 bxax . 00 bxax，乙例题乙例题 例 1.写出下列命题的等价命题：实数 a, b, c 都不为零； 实数 a,b,c 不都为零； x=3 且 y2； . 044xx，解：. a, b, c 都不为零.a0 且 b0 且 c0.abc0. 000cba . a, b, c 不都为零a, b, c 中至少有一个不为零. a0 或 b0 或 c0. 不是 a, b, c 都等于零.a2+b2+c20. x=3 且 y2 23 yx 2233yyxx或或或或或 . ；， 23 yx ；， 23 yx ；，23yx . 23yx，或 . 044xx， 0044xxxx或 ；，044xxx. 044xxx ，例 2. 解方程组. 64222yxx，解：由 x2=4，得 x=2. 把 x=2.代入 4y2=6， 得 y=.2原方程组的解是 . 22yx，即原方程组有四个解： ；，22yx；，22yx；，22yx. 22yx，例 3. 已知：a, b, c 是ABC 的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系： （ab）(bc)=0 ； （ab）2+(bc)2=0. 解： 当 ab=0 或 bc=0 时，等式成立.a, b, c 三边的大小关系是： a=b；或 b=c；或 a=b=c. 当（ab）20 且(bc)20 时，等式成立. . 00 cbba，a, b, c 三边的大小关系是：a=b=c. 例 4. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？； .xx31x41解： 有意义.xx31 . 0301xx， . 31xx，这个不等式组的解集，是 1x3.当1x3 时，有意义.xx31 有意义.x41 . 040xx， .160xx，这个不等式组的解集，是：x0 且 x16.0 16即当 0x16 或 x16 时，有意 义.x41例 5. 绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：5； 3.xy解： 5，就是表示 x 的点离开原点的距离小于 5. （如图）x即 x5 且 x3.3 的解集，是；y3 . y例 6. 已知：方程无解.0221xt x 求：t 的值. （1987 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题） 解：去分母，得 x+2+t(x 2)=0. 整理为关于 x 的一次方程， (t+1)x=2(t1).当 时，原方程无解. . 0) 1(201 tt，解这个方程组，得： t=1； 当 x=2 或 x=-2 时原方程也无解.（这是增根）. 分别以 x=2， x=2 代入方程 (t+1)x=2(t1). 当 x=2，t 无解； 当 x=2 时， t=0. 综上所述，当 t=1 或 t=0 时，方程无解.0221xt x 丙练习丙练习 59 1. 填空：当 a= 时， 没有意义.)3)(11 aa（当 x时， 有意义.912x当 x时，在实数范围内有意义.31 xx当整数 b=_ 时，的值是整数. b3方程 x+y=2 的正整数解是，非负整数解是. 平面内不重合的两条直线的位置关系有. 经过一点有一条只有一条直线和已知直线垂直. 2. 用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题 x0. a3. 3x2. 3. 用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.如果 x2=16， 那么 x= 4. 如果 a=3， 那么=3.a如果 x=0， 那么 x20. 如果 y 0， 那么 y20.如果4， 那么40； 2x 1b2 能得出 ab, 那么 a, b 应满足什么条件？ (1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)9. ABC 中ABC 且 2C=5A，那么B 的取值范围是什么？ (1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题) 10. a, b, c 三实数不都是零，可表示为( )(A) a+b+c 0. (B) abc0 . (C) a2+b2+c20. (D) ab+bc+ca 0.11.已知最简根式 a 与是同类根式，那么应满足条件的 a, b 的值ba 2ba7是. ( 1989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)12.方程=ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么 a 的取值范围是_.x(1987 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)参考答案 练习练习 591. -1 或 3 3 且-3 x1 且 x3 1 或-1 或 3 或-3 x=1 且 y=1；2 x0 或 x3 3 只有假命题 42 或-330 9. 40 B75 10.(C)a-1o11. a=3 且 b=1 12.大于或等于 1.