第 13 讲 空间向量与立体几何一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1运用定义证明(有时要用反证法); 2运用平行关系证明; 3运用垂直关系证明; 4建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑a b(1)运用定义证明直线与所成的角为; (2)运用三垂线定理或其逆定理;ab090(3)运用“若平面,则”; (4)运用“若且,则”;a bab/bcacab(5)建立空间直角坐标系,证明.0a bv v二. 空间中的角和距离的计算 1求异面直线所成的角(1)(平移法)过 P 作,则与的夹角就是与的夹角;/aa/bbabab(2)证明(或),则与的夹角为(或);ab/abab09000(3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().avbv0, ab(0,22,求直线与平面所成的角 (1) (定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;ababa(2) 证明(或),则与的夹角为(或);a/aa09000(3) 求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.avnva0900903求二面角(1) (直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过 P 作 AB 的垂线,ABPAB交 AB 于 C,再过 P 作的垂线,垂足为 D,连结 CD,则,故为所求的二面角.CDABPCD(2) (面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形 FAB090的面积为,F 在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).1S2S21cosS S (3) (异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角22222cosEFdmnmn的平面角,EA 在半平面内且于点 A,BF 在半平面内且 FBABEAABAB 于 B,而,.ABdEAmFBn(4) (三面角的余弦定理),三面角中,又二面角SABCBSCCSAASB,则.BSACcoscoscoscossinsin(5)(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为1nu v2nu u v(同类)或(异类). 4.求两点 A,B 间距离(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求.ABuuu v5.求点到直线的距离 (1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. 6.求点到平面的距离 (1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积,为底3VhSh面上的高.(4)在平面上取一点 A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点 P 到平面APuuu vncos的距离为.cosdAPuuu v7.求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 , a bl则与的距离等于 P 到 的距离; (6)(公式法).abl22222cosdEFmnmn8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 三.多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长, 为侧棱或母线长)(2)体积(为底面积,为高)Sc l 侧clVShSh2.锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:1 2Sc h侧chSrl侧(为底面周长, 为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).rl1 3VShSh3.锥体的平行于底面的截面性质:.23 1111 23,ShVh ShVh4.球的表面积:; 球的体积:.24SR34 3VR四.解题思想与方法导引 1.空间想象能力; 2.数形结合能力; 3.平几与立几间的相互转化; 4.向量法ABCD例题讲解1正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92由曲线,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体24xy24xy 4x 4x y积为;满足,的点组成的图形绕1V2216xy22(2)4xy22(2)4xy( , )x y轴旋转一周所得的几何体的体积为,则( )y2VA, B, C, D,121 2VV122 3VV12VV122VV3如右图,底面半径,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心1r 率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的2 21AB 几何体体积是( )A, B, C, D,3 222(1)24在四面体 ABCD 中,设,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为,则四1AB 3CD 3面体 ABCD 的体积等于( )A, B, C, D,3 21 21 33 35三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是 1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( )A, B, C, D,2121 251 251 46四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D,其 6 条棱的中点为,共 10 个123456,M MMMMM点,任取 4 个点,则这 4 个点不共面的概率是( )A, B, C, D,5 77 1024 3547 707正方体的棱长为,则异面直线 C与 BD 间的距离等于 .ABCDABC DaDABABCA1B1C1ABCDMKNS8正四棱锥中,二面角为且,(,SABCD045ASBASBCcosmnm为整数),则 .nmn9在正三棱锥中,过 A 作平面分别交平面 PBC 于 DE.当截面PABCABa2PAa的周长最小时, ,P 到截面 ADE 的距离为 .ADEADES10空间四个球,它们的半径分别是 2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于 .11三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A,B 两12 12片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 .12直三棱柱中,平面平面,且=111ABCABC1ABC11ABB AAC,则 AC 与平面所成的角的取值范围是 .13AA1ABC13如图,直三棱柱中,连接,111ABCABCACBC1AB1BC,若,求证:1CA11ABBC11ABCA14如图,设是一个高为 3,底面边长为 2 的正四棱锥,SABCDK 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥的体积 VSAMKN 的最大值与最小值.15有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子,m np (2) (2) (2)mnp其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值., ,m n pmnppABCDEF课后练习1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点a 的这个正四面体的体积为( )A, B, C, D,38 27a38 3 27a31 3a38 9a2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33设二面角的大小是,P 是二面角内的一点,P 点到的距离分别为 1cm,a060, 2cm,则点 P 到棱的距离是( )aA, B, C, D,2 21 3cm21 3cm2 3cm4 21 3cm4如图,E,F 分别是正三棱锥 ABCD 的棱 AB,BC 的中点,且 DEEF.若 BC=,则此正三棱锥的体积是( )aA, B,324a32 24aC, D,32 12a33 12a5棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,64 3 278 2 32 36若线段 AB 的两端点到平面的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面的位置关系是 .7若异面直线所原角为,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线上到 A,B 距离为, a b060, a b2 和平共处的两点,当时,线段 AB 的长为 .3EF 8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件 1111ABC DABCDABCD时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)1A1B1DCDFABOCDEOAABCDPQABCDAB CD图(1)ABENM图(2)9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB 与 EF 所连直线平行; AB 与 CD 所在直线异面;MN 与 BF 所在直线成; MN 与 CD 所在直线互相垂直.060其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出) 10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC 分别交 AB,AC 于 D,E.将沿ABCADEDE 折起来使得 A 到,且为的二面角,求到直线 BC 的最小距离.1A1ADEB0601A11如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,PA平面 ABCD,且 PA=1.a(0)a (1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQQD?并说明理由; (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQQD,求这时二面角 Q的正切.PDA第 13 讲 空间向量与立体几何 答案例题：1,B 设棱长为,外接球的半径为 R,内切球的半径为,则ar22236()()33RaaR解得,有:R=1:3.6 4Ra666 3412raaar2,C 设,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是(0, )(0)Aa a 和222(4)(4