1CH13 关于定价的博弈论模型关于定价的博弈论模型分析寡头市场的最大困难在于策略问题。在此情形下，市场上仅有几家企业，每一家企业 在做决策时，都必须在一定程度上考虑其它企业的行为。博弈论就是用以研究策略选择的 一种主要的工具。一、基本概念一、基本概念在一些情况下，个人或企业必须作出策略性选择，并且最终的结果依赖于每一个行动者的 选择，这种情况就可以看成是一个博弈博弈。1 1博弈的三要素博弈的三要素任何一个博弈都必须具备三个要素：（1）博弈的参与者）博弈的参与者参与人的具体身份无关紧要，在博弈中没有“好人”与“坏蛋”之分，我们只是简单地假 设每个参与者在考虑到对手行为的前提下，做出最有利的策略性选择。（2）策略）策略策略是博弈参与者的行动规则。在非合作博弈中，参与者之间不能就策略选择达成一个有约束力的协议。（3）支付（）支付（payoffs）支付是参与者的最终受益。支付包括了与博弈结果相关的所有方面，既包括显性的货币报 酬，也包括隐性的参与者关于结果的心理感受。2.2. 符号符号两个参与者（A 和 B）之间的博弈 G 用下式表示,( , ),( , )ABABG SS Ua b Ua b其中，和分别表示参与者 A 和参与者 B 的可选策略，和分别表示ASBS( , )AUa b( , )BUa b当参与者 A 和 B 分别选择策略 a 和策略 b 时，各自所得到的支付（） 。,ABaSbS二、二、Nash 均衡均衡市场均衡市场均衡：在均衡价格和产量下，买方和卖方都没有动力去改变自己的行为。2Nash 均衡均衡：对于策略组合（） ，如果给定其它参与者的策略，没有一个参与者会选*,a b择单方面偏离，那么这个策略组合就构成一个 Nash 均衡。也就是说对于所有*(,)( ,)AAUa bUa bAaS对于所有*(,)(,)BBUa bUa bBbS对纳什均衡的理解对纳什均衡的理解设想所有参与者在博弈之前达成一个（没有约束力的）协议，规定每个参与人选择一个特定的战略。那么，给定其他参与人都遵守此协议，是否有人不愿意遵守此协议？如果没有参与人有积极性单方面背离此协议，我们说这个协议是可以自动实施的（自动实施的（self-enforcing），这个协议就构成一个纳什均衡。否则，它就不是一个纳什均衡。三、一个例子三、一个例子两个厂商（A 和 B）决定自己花多少钱用于做广告。每个厂商可以选择较高的预算（H）或 较低的预算（L） 。1博弈的扩展式表述博弈的扩展式表述图 13.12博弈的策略式（规范式）表述博弈的策略式（规范式）表述表 13.13占优策略和占优策略和 Nash 均衡均衡从表 13.1 可以看出，低预算（L）是厂商 B 的占优策略，即不管厂商 A 选择哪一种策略， L 都是厂商 B 的最佳选择。由于该博弈的结构是公共知识，厂商 A 也知道 L 是厂商 B 的占 优策略，所以厂商 A 将选择 L。因此，该博弈的均衡是（L，L） 。请验证（L，L）构成一个 Nash 均衡，而其它三个策略组合都不是 Nash 均衡。3四、混合策略四、混合策略 Nash 均衡均衡上面的博弈存在唯一的 Nash 均衡，但是并非所有博弈都是如此。在下图所示的猜谜博弈 中，没有上述意义上的 Nash 均衡存在；而在“性别之战”博弈中，存在两个 Nash 均衡。儿童 BH(正面)T(反面)H(正面)1,-1-1,1 儿童 A T(反面)-1,11,-1表 13.2 猜谜博弈表 13.3 “性别之战”Nash 均衡不存在的一个主要原因是参与人的策略较少，缺乏灵活性。在以下两种情况下， 参与者的潜在策略数无穷大，就可以保证博弈至少存在一个均衡：（1）参与者的策略是某 一区间内的连续变量（比如厂商对产量或价格的选择） ；（2）参与者使用混合策略混合策略以 一定的概率选择某种概率。相应地，以概率 1 选择某种行动的策略叫做“纯策略纯策略”。下面，我们来求解“猜谜博弈”的混合策略 Nash 均衡。Suppose that the players decide to randomize amongst his strategies and play a mixed strategy. Player A could flip a coin and play H with probability r and T with probability 1-r , and player B flip a coin and play H with probability s and T with probability 1-s.Given these probabilities, the outcomes of the game occur with the following probabilities: H-H , rs; H-T, r(1-s); T-H, (1-r)s; T-T,(1-r)(1-s). Player As expected utility is then given by()(1)(1)( 1)(1) ( 1)(1)(1)(1)AE ursrsr srs42212 (21)21rsrsrss Oviously, As optimal choice of r depends on Bs probability, s. If , utility is maximized 1 2s by choosing . If , A should opt for . And when , As expected utility 0r 1 2s 1r 1 2s is 0 no matter what value of r is choosen. As best response function is0, 1 2 ( )1, 1 2 0,1, 1 2if s r sif s if s 4For player B, expected utility is given by()( 1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)( 1)(4221)2 (1 2 )(1 2 )BE ursrsr srsrsrssrr Now, when , Bs expected utility is maximized by choosing . If , A should 1 2r 0s 1 2r opt for . And when , As expected utility is independent of what s is choosen. Bs 1s 1 2r best response function is1, 1 2 ( )0, 1 2 0,1, 1 2if r s rif r if r r1/211/21 response curve of Aresponse curve of BsNash equilibria are shown in the figure by the intersections of optimal response curves for A and B.Or, we can get the equilibrium through the FOC()1420 2AE ussr()1420 2BE urrs对上式的理解：在给定参与人B采用混合战略的情况下，如果混合战略( ) (1- )s Hs T是参与人A的最优选择，必有。同样的，在给定参与( ) (1- )r Hr T()( )AAEuHEuT人A采用混合战略的情况下，如果混合战略是参与人B的( ) (1- )r Hr T( ) (1- )s Hs T最优选择，必有。这样，混合策略混合策略Nash均衡就可以由以下两式得到均衡就可以由以下两式得到()( )BBEuHEuT()( )()( )AABBEuHEuTEuHEuT 即1( 1) (1)( 1)1 (1) ( 1)1 (1)1( 1) (1)ssss rrrr 这样很容易就可以得到上面的混合策略Nash均衡。5四、囚徒困境四、囚徒困境囚徒 B坦白抵赖坦白-3，-30.5，-10 囚徒 A 抵赖-10，0.5-2，-2表 13.3 囚徒困境抵赖 is a dominated strategy. A rational player would therefore never 抵赖. This solves the game since every player will 坦白. Notice that I dont have to know anything about the other player. 囚徒困境：个人理性与集体理性之间的矛盾。This result highlights the value of commitment in the Prisoners dilemma commitment consists of credibly playing strategy 抵赖. 囚徒困境的广泛应用：军备竞赛、卡特尔、公共品的供给。五、动态博弈五、动态博弈参与人 A 首先行动，参与人 B 在观察到参与人 A 的行动以后，再行动。相对于动态博弈动态博弈， 参与者同时行动，或者虽然行动上又先后，但是后行动者不能观察到先行动者的选择的博 弈叫做静态博弈静态博弈。1. 扩展式表述扩展式表述图 13.22策略式表述策略式表述表 13.4请注意企业B的策略和策略空间。策略是对行动规则的完备描述，由于在参与者A选择以后，6参与者B可能面临两种情况参与者A选择了H或者选择了L，因此，参与者B的策略就要 分别描述这两种情况下自己的行动选择。以策略（L，H）为例，它表示如果参与人A选择 了L，那么参与人B就选择L，如果参与人A选择了H，那么参与人B也选择H。3. 均衡均衡（1）Nash 均衡均衡根据表 13.4 的策略式表述，该博弈一共有 3 个纯策略 Nash 均衡：L, (L, L)、L, (L, H)和 H, (H,L)。其中，L, (L, H)和H, (H,L)并不合理。以H, (H,L)为例，参与人 A 之所以选择 H，是因为他相信如果自己选择了 L，参与人 B 将选择 H。但是很明显，参与人 B 的这一 “威胁”并不可信。因为一旦参与人 A 真的选择了 L，对参与人 B 来说，最有选择是 L 而 不是 H。策略组合L, (L, H)同样存在这一问题。只有L, (L, L)是唯一合理的均衡。因此，Nash 均衡不能剔除动态博弈中的不可信威胁。为了得到更为合理的均衡，我们需要 更强的均衡概念。（2）子博弈精炼（完备）均衡（）子博弈精炼（完备）均衡（Subgame Perfect Equilibrium）定义定义：一个扩展式博弈的子博弈子博弈由单个决策结x和该决策结的所有后续结（包括终点结）组 成，它不能切割原博弈的信息集。图 13.2 中的博弈包含 3 个子博弈原博弈本身以及由参与者 B 的两个决策结点开始的两 个子博弈；而图 13.1 中的博弈仅包含 1 个子博弈，那就是原博弈本身。定义定义：如果策略组合在每一个子博弈上都构成 Nash 均衡，那么，该策略组合构成子博弈 精炼（完备）均衡。运用逆向归纳法逆向归纳法，我们可以剔除不可信威胁，得到子博弈精炼均衡L, (L, L)。六、重复博弈六、重复博弈在重复博弈中，参与者的策略集扩大。在这种博