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1第一章整式第一章整式 整式的加减整式的加减 本章的知识是以后学习一次方程,整式乘除,分式和根式运算,函数等知识的基础,也是 今后学习物理、化学等学科必不可少的工具。 本章的重点是合并同类项和整式的加减。难点是同类项的合并和添括号法则的理解和运用. 为了掌握本章知识,我们要注意以下几点: 1.理解单项式,多项式和整式的概念,弄清它们的联系。 2.掌握单项式的系数、次数、多项式的项数、次数等概念。 3.理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则和去括号、添括号的法则,准确进行整式的 加减运算。 4.要熟练地把一个多项式按某一个字母升幂或降幂排列。 整整 式式 一一.本讲知识要点本讲知识要点: (一)单项式单项式: 1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式,单独一个数或字母也叫单项式。如mn 是数、字母 m、n 的积,它是单项式,但不是单项式,因它分母中含有字母,相当于含有字母与字母的除法运算。,a,b 都是单项式。在a2b, ,2x2+3x+5 中,只有a2b 是单项式。2.单项式的系数:单项式中,数字因数叫做这个单项式的系数。如的系数是,5a3的系 数是 5。 3.单项式的次数:单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如: x3y2的次数是 x 的指数 3 与 y 的指数 2 的和为 5,即x3y2的次数是 5;ab 的次数是 2;4abc 的次数是 3,2a 的次数是 1,4 的次数是 0。 下面我们通过填表来进一步练习: 单项式 x3y - 0.6x2y2z2 -15a2b2 0.7pq -p x2 系数 - 0.6 -15 0.7 - 次数 4 3 6 4 2 1 2 (二)多项式多项式: 1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字 母的项叫做常数项。 如:多项式-2x+3 中,-2x,3 是它的项,3 是常数项;多项式 5x2-3x+4 中,5x2,-3x,4 是 它的项,4 是它的常数项. 注意注意:多项式的项包括它前面的符号。 2.多项式的项数:一个多项式含有几项,就叫做几项式.如 3x-1 是二项式,7x2-5x+3 是三项 式,a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。 3、多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。 如:多项式 5x2-x+2 中 5x2项的次数最高,次数为 2,所以,此多项式的次数是二,它是二次三项式;4x-3 是一次二项式;m2+mn+n2是二次三项式; x4y+xy4是五次二项式。 24.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母 降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排 列。 如:多项式 2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑 x 的指数,而不考虑其它字母;按 y 的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4。 注意注意:(1)重新排列一个多项式时,各项都要带着符号移动位置; (2)对含有两个以上字母的多项式,一般都按其中某一个字母的降幂排列。 (三)整式整式: 单项式和多项式统称为整式。即 如:-3,a2b,a2-b2都是整式。 二二.例题例题: 例例 1.下列整式中,哪些是单项式,哪些是多项式?说出各单项式的系数、次数;各多项式 是几次几项式,并按某一个字母降幂排列: -12,-2a,x2yz,m2-n2,x2+2x+1,-3x2+2y2-xy,0.5,4-3a2b-ab2-b3。 解解:单项式有:-12,-2a,x2yz,0.5;-12 的系数就是-12,次数是 0;-2a 的系数是-2,次数是 1;x2yz 的系数是 1,次数是 4;0.5 的系数是 0.5,次数为 0。 多项式有 m2-n2,x2+2x+1,-3x2+2y2-xy,4-3a2b-ab2-b3;m2-n2是二次二项式,按 m 的降幂 排列为 m2-n2;x2+2x+1 是二次三项式,它本身就是按 x 的降幂排列;-3x2+2y2-xy 是二次三项 式,按 y 的降幂排列为 2y2-xy-3x2; 4-3a2b-ab2-b3是三次四项式,按 a 的降幂排列为:-3a2b-ab2-b3+4。 例例 2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13,-x,5a,abc, ax2+bx+c,a3+b3。 解解:单项式有:13,5a,abc; 多项式有: ,-x,ax2+bx+c,a3+b3; 整式有:13,5a,abc,-x,ax2+bx+c,a3+b3。 例例 3.当 x=-,y=-时,求 x2y+xy2-y3的值。 解解:当 x=-,y=-时, x2y+xy2-y3=(-)2(-)+(-)(-)2-(-)3=-+= 例例 4.m 是大于-1的负整数,n 是绝对值为 2 的有理数, 求: m3-2n2m2+6n3m 的值。解解:首先要确定 m,n 的取值,依题意得 m=-1, |n|=2, n=2,要分两种情况讨论: 3当 m=-1,n=2 时, m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-222(-1)2+623(-1)=-8-48=-56当 m=-1,n=-2 时, m3-2n2m2+6n3m=(-1)3-2(-2)2(-1)2+6(-2)3(-1)=-8+48=39 例例 5.已知:3xmy2m-1z-x2y-4 是六次三项式,求 m 的值。解解:3xmy2m-1z-x2y-4 是六次三项式,而 -x2y 的次数是 3;-4 的次数是 0, 3xmy2m-1z 的次数应是六, m+2m-1+1=6 3m=6 m=2例例 6.已知|a-5|=0,且(a-5)|b+7|=a+5,求 b 的值。分析分析:由已知|a-5|=0 就可以求出 a 的值,将 a 的值代入第二个等式就可求出 b 的值。解解: |a-5|=0, a-5=0, a=5, a=15。将 a=15 代入(a-5)|b+7|=a+5 得, (15-5)|b+7|=15+5 10|b+7|=20|b+7|=2 b+7=2 或 b+7=-2 b=-5 或 b=-9。三三.练习练习: (一)判断正误: 1.单项式-的系数是-,次数是 n+1。 ( ) 2.多项式 6x3-4x2y+3xy2-y3的项是 6x3,4x2y,3xy2,y3。 ( ) 3.多项式 ab3-a2b2-3a3b+2 是按 a 的升幂排列的。 ( ) 4.m2n 没有系数。 ( ) 5.-13 是一次一项式。 ( ) (二)填空: 1.下列代数式中:x2-2x-1,m-n,-,x,。单项式有4_,多项式是_整式有_。2.填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c - 系数 次数 3.3x2-4x+5 是_次_项式。4.(k-2)x2-5x+9 是关于 x 的一次多项式,则 k=_。5.把多项式-5x6+x2y2-2x3y+6x2y3按 y 降幂排列为_,其中最高次项为 _。6.4xn+6xn+1+xn+2-xn+3(n 是自然数)是_次_项式,其中最高次项的系 数是_。7.-3xm+5xm+1-6xm+2-1.5xm-1+4xm-2(m 是大于 2 的自然数)按 x 降幂排列为 _。8.若(|m|-2)2+(2n+1)2=0,则 mn=_。9.若 x,y 互为相反数,那么,3x+2y=_。10.如果多项式 x2-7x-2 和 3x2+5x+n 的常数相同,则 n-=_。11.当 m=_时,多项式 8x2+3mxy-5y2+xy-8 中不含 xy 项。12.若 10,b0, bn) 同底数幂的除法是整式除法的基础,要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘18法的逆运算归纳总结出来的,和前面讲的幂的运算的三个法则相比,在这里底数 a 是不能为零 的,否则除数为零,除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数,所以又规定 mn。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。 同底数幂的两个幂相除,如果被除式的指数与除式的指数相等,那么商等于 1,即 amam=1,m 是任意自然数。a0, 即转化成 a0=1(a0)。 同底数幂的两个幂相除,如果被除式的指数小于除式的指数,即 m-n0. =-+=+ 注意:例题的计算中的混合运算注意运算顺序,不要出现以下错误:a21a8a12=a21a20=x. 例例 10.计算:(1) (2a+b)5(2a+b)3 (2) x8(x4x2) (3) (a2)4(a3)4(a5)2 *(4) (x+y)(x+y)-1 解:解:(1) (2a+b)5(2a+b)3 分析分析:此题为同底数幂相除 =(2a+b)5-3 底数为(2a+b)不变,指数相减 =(2a+b)2 (2) x8(x4x2) 分析分析:先做小括号内的运算 =x8(x4-2) 除法没有分配律,不能出现以下错误: =x8x2 如:x8(x4x2)=x8x4x2=x4x2=x2 =x8-2=x6 (3) (a2)4(a3)4(a5)2 分析分析:先做小括号乘方再做中括号乘法, =(a8a12) a10=a20a10 最后做除法 =a20-10=a10 *(4) (x+y)(x+y)-1 分析分析:可运用同底数幂相除的法则: =(x+y)1-(-1) 底数不变指数相减,即底数(x+y) =(x+y)2 不变,指数:1-(-1)=2 20*幂的运算法则可归纳为: aman=am-n= 幂的运算法则的逆用幂的运算法则的逆用 学习了幂的运算法则后,同学们对法则的正向运用比较得心应手。但把它们逆过来运用却 不习惯,其实逆用幂的运算法则,能使难题变易、繁题变简。(有几个地方比较难,可能有的 同学看不懂。主要是希望大家先掌握这种逆用法则的思路,可以以后再回来看) 例例 1计算 (1) 82002(-0.125)2002; (2)(a-2)2+(2b+1)2=0,则 a2001b2001=_. 解:解:(1)原式=8(-0.125)2002=(-1)2002=1. (2)a=2, b=-. a2001b2001=(ab)2001 =2(-)2001=-1. 例例 2计算(x-y)2(x+y)2(x2-xy+y2)2(x2+xy+y2)2 解:解:原式=(x-y)2(x2+xy+y2)2(x+y)2(x2-xy+y2)2 =(x-y)(x2+xy+y2)2(x+y)(x2-xy+y2)2 =(x3-y3)2(x3+y3)2=(x3-y3)(x3+y3)2 =(x6-y6)2=x12-2x6y6+y12. 例例 3已知 10a=5, 10b=6, 求:(1) 102a+b;(2) 10a-2b 的值。 解:解: 10a=5, 10b=6, (1) 102a+b=102a10b=(10a)210b=526=150; (2) 10a-2b=10a102b=10a(10b)2=562=.
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