1第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率一. 填空题1. 设 A, B, C 为三个事件, 且_.)(,97. 0)(, 9 . 0)(CABPCBAPBAP则解.)(1)(1)()()()(ABCPABPABCPABPABCABPCABP= 0.970.9 = 0.07)(CBAP)(BAP2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_.解. , 合格品二件产品中有一件是不A二件都是不合格品B511)()( )()()|(2 102 62 102 4 ccccAPBP APABPABP注意: =合格品二件产品中有一件是不不合格品二件产品中恰有一件是+二件都是不合格品所以; BABBA,二件都是合格品A3. 随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率axaxy(202与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于的概率为_.4解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则, k 为比例系数. 所以121),(2akDYXP22 ak假设 D1 = D 中落点和原点连线与 x 轴夹角小于的区域4.1 21)21 41(2),(22 211aaaDkDYXP的面积4. 设随机事件 A, B 及其和事件 AB 的概率分别是 0.4, 0.3, 0.6, 若表示 B 的对立事件, B则积事件的概率 = _.BA)( BAP解. 0.4 + 0.30.6 = 0.1)()()()(BAPBPAPABP.3 . 01 . 04 . 0)()()(ABPAPBAP25. 某市有 50住户订日报, 有 65住户订晚报, 有 85住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是_. 解. 假设 A = 订日报, B = 订晚报, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85. 所以 P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.5 + 0.650.85 = 0.3. 6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为 0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_. 解. 设 Ai事件表示第 i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.8, P(A3) = 0.7, )()()(1)(1)()(321321321321APAPAPAAAPAAAPAAAP=10.90.80.7=0.496. 7. 电路由元件 A 与两个并联元件 B, C 串联而成, 若 A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损 坏的概率依次为 0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是_. 解. 假设事件 A, B, C 表示元件 A, B, C 完好. P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)P(A)P(B)P(C)= 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 10.686 = 0.314. 8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为 0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率_. 解. 设 X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0)+ P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0)= P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0)+ P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=21 336 . 04 . 07 . 0c6 . 04 . 07 . 022 33c334 . 07 . 0+21 321 34 . 06 . 07 . 03 . 0cc321 34 . 07 . 03 . 0c321 34 . 03 . 07 . 0c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为, 则此密码被译出的概率41,31,51_.解. 设 A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则.41)(,31)(,51)(CPBPAPP(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)P(AB)P(AC)P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)=.53 41 31 51 41 31 41 51 31 51 41 31 51二单项选择题.1. 以 A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件为A3(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案. 2. 设 A, B, C 是三个事件, 与事件 A 互斥的事件是(A) (B) (C) (D) CABA )(CBAABCCBA解. , 所以(D)是答案.CBAA)CBAA(3. 设 A, B 是任意二个事件, 则(A) P(AB)P(AB)P(A)P(B) (B) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(BA)P(A)P(B)P(AB) (D).41)()(ABPBAP解. P(A + B)P(AB)P(A)P(B) = (P(A) + P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)=P(A)(P(B)P(AB) + P(AB)(P(B)P(AB)=(P(B)P(AB)(P(A)P(AB)=P(BA)P(AB) 0 所以(B)是答案 . 4. 事件 A 与 B 相互独立的充要条件为(A) A + B = (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案. 5. 设 A, B 为二个事件, 且 P(AB) = 0, 则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0 或 P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0 不能推出 A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设 A, B 为任意二个事件, 且 AB, P(B) 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) P(A|B) (C) P(A) P(A|B)解. (当 B = 时等式成立). (B)是答案.)()()( )()()|(APBPAP BPABPBAP7. 已知 0 P(B) 1, 且 P(A1 + A2)|B = P(A1|B) + P(A2|B), 则下列选项必然成立的是(A)B|P(A)B|P(AB| )AP(A2121(B) P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B) (C) P(A1 +A2) = P(A1|B) +P(A2|B) (D) P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) 解. 由 P(A1 + A2)|B = P(A1|B) + P(A2|B)得到, 所以 P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B). (B)是)()( )()( )()(2121 BPBAP BPBAP BPBAAP答案.三. 计算题 1. 某厂生产的产品次品率为 0.05, 每 100 个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一 半来检查, 如果发现次品不多于 1 个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合4格的概率. 解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有 1 个次品)=2794. 050 1001 549 95 50 10050 95ccc cc2. 书架上按任意次序摆着 15 本教科书, 其中有 5 本是数学书, 从中随机地抽取 3 本, 至少 有一本是数学书的概率.解. 假设 A=至少有一本数学书. =没有数学书AP() =, P(A) = 1P() = A91243 153 10ccA91673. 全年级 100 名学生中有男生 80 名, 来自北京的 20 名中有男生 12 名. 免修英语的 40 名 学生中有男生 32 名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率; ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率; iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率. 解. 学生情况: 男生 女生北京 12 8免修英语 32 8总数 80 20i. P(不是北京|男生) =2017 8068ii. P(男生|北京学生) =53 2012iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324 袋中有 12 个球, 其中 9 个是新的, 第一次比赛时从中取 3 个, 比赛后任放回袋中, 第二 次比赛再从袋中任取 3 个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率; ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率. 解. i. 设 Bi表示第一次比赛抽到 i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是, 3 123 39)(cccBPiii 3 123 9)|(ccBAPi i)()(1 )()|()()(3 60 33 93 71 32 93 82 31 93 93 30 923 123023 123 93 3930cccccccccccccccccBAPBPAPiiiiiii 5146. 0484007056)201843533656398411 ()220(12ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2 33 3APBPBAPABP5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有 n 个白球, m 个红球, 乙袋中有 N 个白球, M 个红球