概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 1 页页 (共共 63 页页)第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品 都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 （2）S= (x, y)| x2+y202. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下UUUU UU(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)ABCABCABCABCABCABCABBCAC ABBCC A3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生 是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？（3）在什么条件下关系式是正确的？CB（4）在什么条件下成立？AB解 所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. CB（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立. AB4设 P(A)0.7，P(AB)0.3，试求()P AB概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 2 页页 (共共 63 页页)解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 10.4 = 0.6.()P AB5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1418 求 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于故 P(ABC) = 0,()0,ABCAB P AB则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)111150 0044488 6. 设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概 率：A两球颜色相同，B两球颜色不同. 解由题意，基本事件总数为，有利于 A 的事件数为，有利于 B 的2 a bA22 abAA事件数为, 1111112abbaabA AA AA A则 2211222( )( )ababa ba bAAA AP AP BAA7. 若 10 件产品中有件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设 A=取得三件次品 则.33 33 33 101016( )( )120720或者CAP AP ACA（2）设 B=取到三个次品, 则.33327( )101000P A8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英 语，9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一 种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语 根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100P ABCP ABP ABC(2) ()()()P ABCP ABP ABC()01()P ABP AB 1( )( )()P AP BP AB 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 3 页页 (共共 63 页页)433532541100100100100 9. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设 A=取到的都是白子 则. 3 8 3 1214( )0.25555CP AC(2) 设 B=取到两颗白子, 一颗黑子. 21 84 3 12( )0.509C CP BC(3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子. ( )1( )0.745 P CP A(4) 设 D=取到三颗子颜色相同. 33 84 3 12()0.273CCP DC10. （1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？（2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日, 则500500364( )1( )10.746365 P AP A(2)设所求的概率为 P(B)412 612 611( )0.007312CCP B11. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的 概率 p.解 由于两个 C，两个 E 共有种排法，而基本事件总数为，因此有22 22A A7 7A22 22 7 70.000794A ApA12.从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有中44 52C取法. 设 A=4 只手套都不配对，则有44 5 4 10280( )210CP AC概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 4 页页 (共共 63 页页)13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为 11ip i 多少？解 设 Ai = 第 i 个零件不合格，i=1,2,3, 则1()1iiP Api所以 ()11iiiP Api 123123123(2)()()()P xP A A AP A A AP A A A由于零件制造相互独立，有：，123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A11112111311,(2)23423423424P x 所以14.假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试 求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第 i 次击中目标, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式12( )()() ()( ) (|) ( ) ()|)P BP ABP AB P ABP A P B A P A P BBA 另外, 由于两次射击是独立的, 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.70.84 = 0.58815.设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai =一批产品中有 i 件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次 品, C=产品中次品不超两件, 由题意 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 5 页页 (共共 63 页页)019 149 110 5019 248 210 5019 347 310 5019 446 110 50(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303P B AC CP B ACC CP B ACC CP B ACC CP B AC由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40( )() (|)0.196ii iP BP A P B A由 Bayes 公式00 011 122 2()(|)(|)0() ()(|)(|)0.255() ()(|)(|)0.333()P AP B AP ABP B P A P B AP ABP B P AP B AP ABP B 故 20( )(|)0.588i iP CP AB16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分 别为 0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析 这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件 的概率）. 解 设 B=三件都是好的，A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%，则 A1, A2, A3是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式31333( )()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624ii iP BP A P B A由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 313233()(|)0.80.98(|)0.8731( )0.8624 ()(|)0.150.90(|)0.1268( )0.8624 ()(|)0.050.10(|)0.0001( )0.8624iiiiiiP A P B AP ABP B P A P B AP ABP B P A P B AP ABP B由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残 次品，且含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一 箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，