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e 8 鼗 S l Jl 鞋 一次函数中的数形结合 赵蓉 华罗庚 先生曾指 出: “ 数 与形本 是相倚 依 , 焉 能 分 作 两 边 飞 ; 数 缺 形 时 少 直 觉 , 形 少数 时难入 微 ; 数 形结 合 百般 好 , 隔裂分 家万事休 ” 这 充分说 明 了数 形 结合在 数 学 学习 中的重要 性 , 是 学习数 学的 一个 重 要 数 学 思 想 数形结合是把抽 象的数 学语 言与 直观 的图形结合起 来 思索 , 使抽 象思维和形 象 思维相 结合 , 通 过“ 以形助 数 ” 或“ 以数 解 形” 可使复 杂 问题 简单化 , 抽 象的数 学 问题 直观 化 、 生动 化 , 能够 变抽 象思 维 为形 象 思维 , 有 助于把握数 学 问题 的本质 另 外 , 由于使 用 了数形 结合的方 法 , 很 多问题便 迎 刃 而 解 , 且 解 法 简 捷 , 从 而 起 到 优 化 计 算 的 目的 【 典例精析 】 例1 一 次 函 数 y l = k x+ b与 Y 2 = + 0的 图 像 n图 l , 贝 4 下 歹 q结 论 0 ; 当x Y 2 故 只有结论正确 , 答案选 B 。 例 2 函 数y l = k lx + b 1 与Y 2 = k 2 x + b 2 满 足 b 。 O 一 、 C D 【 解析 】 由k k 2 O可得k 。 与k 异号 , 故 有一条 直线是上升 的 , 一条直线是下降的 , 排除选项 A; 由6 6 : 可知Y 与y 2 不 能与Y 轴 交于 同一 点 , 排 除选项 C; 同时得 出Y 。 与Y 轴 的交 点 在Y 与y 轴 的交 点 的下 方 , 排 除 选项 B 故答 案选 D 例 3用 图 像 法 解 某二 元 一 次 方 程 组 时 ,在 同一 直 角 坐标 系 中作 出相 应 的 两个 一次 函数 的 图像 ( 如 J V l _ P ( 1 , 1 ) l i 一1 O 图 2 图 2所 示 ) , 则所 解 的二 元 一 次方程 组 是 【 解析】 由图像可求得 , 过( 2 , 0 ) 和( 0 , 2 ) 的一次 函数关 系式 为y = + 2 , 过 ( 0 , 一 1 ) 和 ( 1 , 1 ) 的一次 函数关 系式 为y = 2 x 一 1 , 根据两 个 一 次 函数 的 图像 的交 点 的 坐标 就 是相 应 的二元 一次 方程组 的解 , 因此 二元 次 方程组 为 l 一y-一2=1 :0。, 例 4 如 图 3 , 一 次 函 数 图 像 经 过 点 , 且 与 正 比 例 函 数 y - 7C 的 图像 褒 l于点 , 求 该 J y 一 1 0 一次 函数 的关 系式 图3 【 解析 】 由图像可知 , 点B 在正 比例函 数y = 一 上 , 将8的横 坐标 = 一 1 代入y = 一 得 , y = 1 , 可得B点 坐标 为 ( 一 1 , 1 ) 从 图像 可得 4( 0, 2 ) , 曰( 一 1 , 1 ) 在该一次 函数 图像 上 , 可 设 一次 函数关 系式 为y = k x + b , 将 x = 0, y = 2; =一1 , y = l 代入 可得二元一次方程组 0 + 解 得 : 因 此 函 数 关 系 式 为y = x + 2 【 小结】 以上例题的解题思路主要运用 了数形结 合 的思想 方法 , 利用 图像来 分析 问题可 以将数量 关 系直观化 、形象化 在 一次 函数 的学 习中 , 同学们不 能仅 仅着 眼 于具体 题 目的解题 过程 , 而应 不断 加深 对 数形结合思想的领会 , 从整体上认识 问题 的本质 , 就一定会 收到事半功倍 的效果 【 巩固练习】 1 在 同一直角坐标 系中, E y - k x 与 , , 一k 的 图像 大 致 应 为 ( ) J 一 O 一 o A B 2 3 J o J o _r C D 2 如 图 4 , 是 一 个 正 比例 函数 的 图像 , 把 该 图像 向下平移一 个单位 长度 , 得 到的 函数 图像 的 关 系式 为 I 2 1 D J I 。 一 1 2 , : 一 一1 图 4 图 5 3 观 察 图 5 ,二 元 一 次 方 程 组 ( 的解是 4 已 知 直 线 Y = + 6 。 经 过 原 点 和 点 ( 一 2 , 一 4 ) , 直 线 Y = + 6 2 经过 点 ( 1 , 5 ) 和 点 ( 8 , 一 2 ) , 求 : ( 1 )求y ff y 2 的 函数关 系式 , 并在 同一 坐 标 系 中画 出 两个 函数 的 图像 ; ( 2 )若两直线 交于点 , 求 的坐标 ; ( 3 )若直线 : 与缃 交于点, 试求AMO N 的 面 积 【 答案 】 1 B 一 。 2 y =-2 x-1 f x = 0 I I 一1 4 ( 1 ) y t = 2 x , y x + 6 图略。 _ 0 ( 2 ) M( 2 , 4 ) ( 3 )1 2 ( 作者单位 : 南京 市第一 中学)
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