1处理平面向量等式问题的若干策略 孙福明（常州市教育教研室，江苏 常州 213001） 向量是数形结合的典范。一方面，向量的两个基本要素是模及方向，模就是向量的长 度，是非负实数，向量的方向通常用角度精确表示，这些是向量兼俱代数运算特点的基础。 另一方面，向量的有向线段表示法，是向量几何运算的基础，如平行四边形法则，三角形 法则，向量共线等。正确处理向量问题，是从数与形两个纬度的分析与综合。向量等式， 是向量问题中常见的条件形式。如何处理向量等式，是学生解决向量问题的难点之一，对 向量等式的正确解读，关系到学生能否找到解题思路及解题思路优劣与否。本文就处理向 量等式问题的若干策略做一介绍。 1向量等式图形化 在读题过程中，形成向量及向量运算符号与几何图形之间的常规联想，如将向量符号转化为向量有向线段表示，把符号运算如转化为向量加法的平行四边形对,AB auuu r r,ab abrr rr角线，转化为直线垂直等，在此基础上利用向量图形运算的特征，对条件等式进行0a b r rg化简，整合，常常使向量条件“数落形出” ，简捷明了。例 1设 G 为平面 ABC 内一点，若+=，求证：G 为ABC 的重心。GA GB GC0分析：由联想到平行四边形加法法则，GBGCuuu ruuu r通过平行四边形作图法则对化简。GBGCuuu ruuu r证明：如图，以 GB,GC 为邻边作平行四边形 GBMC,设 GM 交 BC 于点 D,则 D 为 BC 中点。+=2，QGB GCGMuuuu rGD +2=，GAGD 0即= -2，= 2，GAGDAGuuu rGD G 在中线 AD 上，且 G 为靠近 D 点的一个三等分点， G 为ABC 的重心。点评：本题也可以对施以同样的化简法则。由或联想到向,GAGB GAGCuuu ruuu r uuu ruuu rabrrabrr量加法的平行四边形法则，是向量符号语言向图形语言的基本模式之一，也体现了对向量 式整体实施变换的思想。例 2已知点O是四边形 ABCD 内一点，满足，若0OAOBOCuuu ruuu ruuu rr，求实数的值。ABADDCAOuuu ruuu ruuu ruuu r分析：由例 1 知，满足条件的点O为ABC 的重心。在化简第二个0OAOBOCuuu ruuu ruuu rr等式时，对等式左边利用平行四边形加法法则消元化简。解： =.,ADDCACuuu ruuu ruuu rABADDCuuu ruuu ruuu rABACuuu ruuu r2以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABMC,设对角线交点为 E,则 E 为 AM 中点,2,ABACAMAEuuu ruuu ruuuu ruuu r第二个等式可化为,2AEAOuuu ruuu r. 2AEAOuuu ruuu r+=，O 为ABC 的重心， OA OB OC 0由重心性质知，= AE23 AO由得，3. 点评：在这两个例题中，都涉及到这样一个结论：在ABC 中，若 D 为 BC 中点，则=(+)，该结论又称为中点公式，是联系向量表达式与图形语言重要模式之AD21ABAC一。例 3若非零向量与满足且，则ABuuu rACuuu r()0ABACBC ABACuuu ruuu ruuu rguuu ruuu r1 2ABACABACuuu ruuu rguuu ruuu r形状为（ ）ABC A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形分析：向量是单位向量，利用单位向量的模为 1 的特征解题。ABABuuu ruuu r解：向量，是单位向量，ABABuuu ruuu rACACuuu ruuu r是以向量，为邻边的菱形的对角线，ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu rABABuuu ruuu rACACuuu ruuu r由菱形性质知，向量所在直线平分A.ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r又，()0ABACBC ABACuuu ruuu ruuu rguuu ruuu rA 的平分线与 BC 垂直， AB=BC.又由知，cosA=,即 A=600，为等边三角形。1 2ABACABACuuu ruuu rguuu ruuu r21ABC点评：能否识别单位向量符号是解决本题的难点，将向量运算图形化后能否利用ABABuuu ruuu r菱形对角线性质是解决本题的关键。将向量等式图形化后常常要利用有关平面图形的性质，3这是向量等式图形化策略解题特点。 2.向量等式实数化 由于向量的数量积运算能够把向量转化为实数问题，进而利用实数的运算性质化简， 所以对向量等式主动施加数量积运算是处理棘手向量等式问题的重要思路。特别是在判断 图形形状一类题型中，数量积运算使用优势特别明显，因为数量积运算中涉及到的长度与 角度正好是三角形中的基本元素。例 4已知，求 的值。0abcrrrr3,5,7abcrrra bb cc ar rr rr rggg分析：从对向量等式实数化着手化简。0abcrrrr解：法一 ，.0abcrrrrabc rrr，22,abcabc rrrrrr,2222aa bbcrr rrrg.222115()22a bcabr rrrrg同理，,6533,22b cc a r rr rgg. . 83 2a bb cc a r rr rr rggg法二 , ，0abcrrrr20abcrrr展开得，2222()0abca bb cc arrrr rr rr rggg （92549）=.a bb cc ar rr rr rggg22212abcrrr1 283 2点评:本题通过对向量等式两边同时平方，其实是利用向量的数量积运算把向量等式转 化为实数等式，这是数量积运算的重要特征。它类似与实数中对等式两边同时平方运算。 第二种方法充分利用向量运算的特点，巧妙地借助整体计算的思想，降低了运算量。对向 量等式实数化通常有两种模式，即原式平方和移项平方。本题亦可利用条件构造三角形，,然后利用数0abcrrrrABC,AB a BCb CAcuuu rr uuu rr uu u rr量积的定义化简，再结合余弦定理，同样可以得到等式a bb cc ar rr rr rggga bb cc ar rr rr rggg。这也表明了向量等式的多种方法处理的灵活性。22212abcrrr例 5四边形ABCD中，且，试问四,AB a BCb CDc DAduuu rr uuu rr uuu rr uuu ru ra bb cc dd ar rr rr u ru r rgggg边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角 量之间关系。解：法一 四边形 ABCD 是矩形，这是因为：4一方面：220,(),()() ,abcdabcdabcd rrru rr rrru rrrru r展开得，.2222abcdrrru r同理得，.2222adcbru rrr由得，即四边形 ABCD 两组对边分别相等，,ac bdrrru r四边形 ABCD 是平行四边形另一方面，由，而由平行四边形 ABCD 可得，,()0a bb cb acr rr rrrrggg得ac rr(2 )0,0,bab arrr rgg，即 ABBC.abrr综上所述，四边形 ABCD 是矩形.法二 ，.,()0a bb c b acr rr r rrrggg()bacrrr同理, ,()dacu rrrb dru r同理，a crr四边形 ABCD 是平行四边形。此时,，平行四边形 ABCD 是矩形.()aacrrrbarr点评：第一种方法的关键是寻求题中隐藏的向量等式，即，是ABBCCDDA顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即，然后将此向量等式通过数0abcdrrru rr量积实数化，找到四边形边长之间的等量关系。平面上封闭图形均隐含了类似的向量等式。 法二则是在对向量等式符号化简的基础上，直接将符号运算与几何意义联系起来，若。通过符号运算的几何意义得出结论，充分表明了向量运算的几何特征。0,a babr rrrg则3.向量等式符号式化简 当对向量等式图形化或数量积比较困难时，亦可以仿照实数等式处理的一般原则，即 化简。建立在图形法则上的向量运算有着不同于实数运算的本质特征，如等，正确利用这些加减法则，对向量等式进行,ABBCAC APABBP OAOBBAuuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruu u r uuu ruuu ruu u r有目的的化简，可以使“隐藏”条件明朗。5例 6已知 O 是ABC 内一点，且满足则 O 点一定是ABC,OA OBOB OCOC OAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rggg的（ ） A内心 B外心 C垂心 D重心分析：注意到等号两边这两个特征：有公共向量，因此可以提取公共向量；剩下两个向 量起点相同，可以用向量减法法则化简，所以对等式两边实施移项提取公共向量的化简法 则。解：由，移项得：，OA OBOB OCuuu r uuu ruuu r uuu rgg()0OB OCOAuuu ruuu ruuu rg ，即 OBAC。,OCOAACuuu ruuu ruuu rQ0,OB AC uuu r uuu rgOBACuuu ruuu r同理：OCAB，OABC，O 点是ABC 的垂心。点评：根据选择支的特点，对已知条件中的向量应向三角形边向量化简。当向量等式中 出现起点相同、系数相等的向量时，通常采用移项手段后，用向量减法法则化简。 例 7已知 O 为直线 AB 外一点，若存在实数 ，满足 +=1 且+，试判断点 C 与直线 AB 的位置关系。OAOCOB分析：从处理向量等式中的实系数着手，使得等式左右两边出现系数相等或相反的 向量，进而利用运算法则化简。 解：+=1，=1，代入+得，OAOCOB，OBOAOC)1 (=（） ，OCOBOAOB,BABC，BCBAA,B,C 三点共线，即点 C 在直线 AB 上。点评：本题利用消元思想，对实数 实施消元，出现向量中两两系数,OA OB OCuuu r uuu r uuu r互相相等或相反的情形，便于利用运算性质消元化简。这种处理技巧在较复杂向量等式 问题中是常用的。请看下例。例 8已知 P、G 为平面 ABC 内的两点，若=(+)，求证： G 为PG31 PA PB PCABC 的重心。分析：从处理系数着手，两边同乘以 3，将左边分别与右边配对，1 33PGuuu r,PA PB PCuu u r uu u r uuu r利用减法法则化简。证明： =(+)，PG31 PA PB PC3=+，PG PA PB PC6-+-+-=， PA PG PB PG PCPG0+=，GA GBGC0由例 1 知，G 为ABC 的重心。例 9已知 A、B