优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 1 -第一讲第一讲 有有 理理 数数一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等） 。 三、例题示范 1、数轴与大小 例 1、 已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3， 那么满足条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于多少？满足条件的点 B 有多少个？例 2、 将这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。9998,19991998,9897,19981997提示 1：四个数都加上 1 不改变大小顺序； 提示 2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示 3：考虑其倒数的大小顺序。 例 3、 观察图中的数轴，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数。试确定三个数的大小关系。 cabab1,1,1 分析：由点 B 在 A 右边，知 b-a0，而 A、B 都在原点左边，故 ab0,又 c10,故要比较的大小关系，只要比较分母的大小关系。cabab1,1,1 例 4、 在有理数 a 与 b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=（n 为大于是 的自然数）naba注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得 简单。 例 5、 在数 1、2、3、1990 前添上“+”和“ ”并依次运算，所得可能的最小 非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 2 -例 6、 计算 123200020012002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。 例 7、 计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002 提示：仿例 5，造零。结论：2003。 例 8、 计算 321L321L321L9999991999999一一一nnn提示 1：凑整法，并运用技巧：1999=10n+999，999=10n 1。 例 9、 计算)200213121()2001131211 (LL)200113121()2002131211 (LL提示：字母代数，整体化：令，则200113121,2001131211LLBA例 10、 计算（1）；（2）100991321211L100981421311L提示：裂项相消。 常用裂项关系式：（1）； （2）；nmmnnm11 111 ) 1(1 nnnn（3）； （4）。)11(1 )(1 mnnmmnn)2)(1(1 ) 1(121 )2)(1(1 nnnnnnn例 11 计算 （n 为自然数）nLL321132112111例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令 S=1+2+22+23+22000，则 S=2SS=220011。例 13、比较 与 2 的大小。200022000164834221LS提示：错项相减：计算。S21第二讲第二讲 绝绝 对对 值值一、知识要点 1、绝对值的代数意义；优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 3 -2、绝对值的几何意义： （1）|a|、 （2）|a-b|； 3、绝对值的性质： （1）|-a|=|a|, |a|0 , |a|a； （2）|a|2=|a2|=a2；（3）|ab|=|a|b|； （4）（b0） ；|ba ba4、绝对值方程： （1） 最简单的绝对值方程|x|=a 的解： 0000pfaaaax一一（2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键： （1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范 例 1 已知 a0，化简|2a-|a|。 提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例 2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则 a+b= ，满足条件的 a 有几个？例 3 已知 a、b、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例 4 已知 a、b、c 是有理数，且 a+b+c=0，abc0，求的值。|cba bac acb注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例 5 已知：例 6 已知，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。3x例 7 已知|x+5|+|x-2|=7，求 x 的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 4 -例 8 是否存在数 x,使|x+3|-|x-2|7。 提示：1、根轴法；2、几何法。例 9 m 为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：结合几何图形，就 m 所处的四种位置讨论。 结论：最小值为 8。例 10（北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数， 且 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于_6_.例 11 （1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对于满 足 px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？ 解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. 当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30-15=15，故 T 的最小 值是 15.例 12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两个数都不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b，则|a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b|-|a|=|a|（|b|-1）.ab0，|a|0，|b|0. |b|-1=0，|b|1. |ab同理可证|a|1. a、b 都不在-1 与 1 之间.例 13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别 有电脑 15、7、11、3、14 台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二 小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3 台，即为 乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例 14 解方程（1）|3x-1|=8 （2） |x-2|-1|=21（3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6. 例 15（1973 年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1 的一切实数解. 分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令 x+3=0,x-1=0，分别得 x=-3,x=1,-3,1 将 全部实数分成 3 段：x-3 或-3x1 或 x1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例 如，当 x-3 时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，x=-5，x=-5 满足优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 5 -x-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解， 这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1 叫做零点.第三讲第三讲 一次方程（组）一次方程（组）一、基础知识 1、方程的定义：含有未知数的等式。 2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程：ax=b。其解的情况： 。ba。baabx。a一一一一一一一一一一一一一一一一一0, 00;05、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元 一次方程组，三元一次方程组。 6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法） 。 二、例题示范例 1、 解方程186)432(517191x例 2、 关于 x 的方程中，a,b 为定值，无论 k 为何值时，方程的解6232bkxakx总是 1，求 a、b 的值。 提示：用赋值法，对 k 赋以某一值后求之。 例 3、（第 36 届美国中学数学竞赛题）设 a，ab，b是实数，且 a 和 a不为零，如果 方程 ax+b=0 的解小于 a/x+b=0 的解，求 a，ab，b应满足的条件。例 4 解关于 x 的方程.1)1 (2axxa提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 a 进行讨论 例 5 k 为何值时，方程 9x-3=kx+14 有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 k 进行讨论。 例 6（1982 年天津初中数学竞赛题）已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2) y+52a=0，当 a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个 公共解，并证明对任何 a 值它都能使方程成立吗？优思数学新人教版初中数学专题网站 WWW.WWW.yousee123yousee123.COM.COM优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有优思数学网- 6 -分析 依题意，即要证明存在一组与 a 无关的 x，y 的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0 恒成立，令 a 取两个特殊值（如 a=1 或 a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方 程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法例 7（1989 年上海初一试题），方程 并且 abc0，那么 x_提示：1、去分母求解；2、将 3 改写为。bb aa cc例 8（第 4 届美国数学邀请赛试题）若 x1,x2,x3,x4和 x5满足下列方程组：96248224212262543214321543215432154321xxxxx