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二次函数与二次方程、二次不等式的关系二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理一、知识梳理知识点知识点 1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系;当二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的函数值 y=0 时,就是一元二次方程,当 y0 时,就是二次不等式。知识点知识点 2、二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根,图像的交点 个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的,这是数和形有机结合的重要体现。研究二 次函 数 y=ax2bxc 图象与 x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程 ax2bxc=0 的根 的问题,这样图像问题就可以转化成方程问题,应用根的判别式、韦达定理、求根公式等 解题。知识点知识点 3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示:二、精典题型剖析二、精典题型剖析 例例 1、已知二次函数 y=x2(m3)xm 的图象是抛物线,如图 (1)试求 m 为何值时,抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3? (2)当 m 为何值时,方程 x2(m3)xm=0 的两个根均为负数? (3)设抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点 P、Q, 求当 PQ 最短时MPQ 的面积变式训练变式训练:1、函数 y=ax2bxc 的图象过(1,0) ,则bac acb cba 的值是 _ 2、已知二次函数 y=x2-2x+3. (1) 若它的图像永远在 x 轴的上方,则 x 的取值范围是_;=b24ac0=00二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像xyOxyOxyO一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根abx22, 1abx2无实数根一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)的解集或x 1xx2x()1x2xabx2x为全体实数一元二次不等 ax2+bx+c0(a0)的解集 1xx2x()1x2x无解无解DQ图 2图 1xyOABCCBA OyxDQ图 2图 1xyOABCCBA Oyx(2) 若它的图像永远在 x 轴的下方,则 x 的取值范围是_; (3) 若它的图像与 x 轴只有一个交点,则 x 的取值范围是_. 3、已知二次函数 y=x2mxm2求证:无论 m 取何实数,抛物线总与 x 轴有两个交 点 4已知二次函数 y=x22kxk2k2 (1)当实数 k 为何值时,图象经过原点? (2)当实数 k 在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?5已知抛物线 y=mx2(32m)xm2(m0)与 x 轴有两个不同的交点 (1)求 m 的取值范围; (2)判断点 P(1,1)是否在抛物线上; (3)当 m=1 时,求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标, 并过 P、Q、P 三点,画出抛物线草图例例 2、(本题满分 12 分) 二次函数的图像交 y 轴于 C 点,交轴于26(0)yaxbxax A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程 的两个根.24120xx (1)求出点 A、点 B 的坐标及该二次函数表达式.(2)如图 2,连接 AC、BC,点 Q 是线段 OB 上 一个动点(点 Q 不与点 O、B 重合) ,过点 Q 作 QDAC 交于 BC 点 D,设 Q 点坐标 (m,0) ,当面积 S 最大时,求 m 的值.CDQ(3)如图 3,线段 MN 是直线 y=x 上的动线段(点 M 在点 N 左侧) ,且2MN ,若 M 点的横坐标为 n,过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P,过点 N 作 x 轴的垂线与抛 物线交于点 Q.以点 P,M,Q,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求出 n 的值;若不能,请说明理由变式训练变式训练:(2012资阳)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象, 由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是( ) A1x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5例例 3、 已知关于 x 的一元二次方程,.2220xaxb0, 0ba(1)若方程有实数根,试确定 a,b 之间的大小关系; (2)若 ab=2,且,求 a,b 的值;31222xx(3)在(2)的条件下,二次函数的图象与 x 轴的交点为 A、C(点 A222yxaxb在点 C 的左侧) ,与 y 轴的交点为 B,顶点为 D.若点 P(x,y)是四边形 ABCD 边上的点,试求 3xy 的最大值.变式训练:(变式训练:(2012 甘肃兰州甘肃兰州 10 分)分)设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1,0),B(x2,0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为:AB|x1x2|。参考以上定理和结论,解答下列问题:2b4ac=a设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为 C,显然ABC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时,求 b24ac 的值;(2)当ABC 为等边三角形时,求 b24ac 的值例例 4、 (2012 广东广东肇肇庆庆 10 分)分)已知二次函数图象的顶点横坐标是 2,与2ymxnxpx 轴交于 A(x1,0) 、B(x2,0) ,x10x2,与 y 轴交于点 C,O 为坐标原点,tantanCABO1OC(1)求证: ;n4m0(2)求 m、n 的值;(3)当 p0 且二次函数图象与直线仅有一个交点时,求二次函数的最大值yx3变式训练变式训练: (2012 湖北荆门湖北荆门 10 分)分)已知:y 关于 x 的函数y=(k1)x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点(1)求 k 的取值范围;(2)若 x1,x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,且满足(k1)x12+2kx2+k+2=4x1x2求 k 的值;当 kxk+2 时,请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值专题训练专题训练1. (2012 天津天津市市 10 分)分)已知抛物线 y=ax2+bx+c(02ab)的顶点为 P(x0,y0) ,点A(1,yA) 、B(0,yB) 、C(1,yC)在该抛物线上()当 a=1,b=4,c=10 时,求顶点 P 的坐标;求-的值;ABCy yy()当 y00 恒成立时,求的最小值ABCy yy2. (2012 湖北湖北黄石黄石 10 分)分)已知抛物线 C1的函数解析式为,若2yaxbx3a(b0)抛物线 C1经过点,方程的两根为,且。(0, 3)2axbx3a01x2x12xx4(1)求抛物线 C1的顶点坐标.(2)已知实数,请证明:,并说明为何值时才会有.x01xx2x1x2x(3)若抛物线先向上平移 4 个单位,再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2,设,1A(m,y )是 C2上的两个不同点,且满足: ,.请你用含有2B(n,y )00AOB9m0n0的表达式表示出AOB 的面积 S,并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函m数解析式。 (参考公式:在平面直角坐标系中,若,则 P,Q 两点间11P(x ,y )22Q(x ,y )的距离)22 2121(xx )(yy )
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