智浪教育普惠英才文库全国中学生高中物理竞赛预赛试题全国中学生高中物理竞赛预赛试题力学力学第第 16 届预赛届预赛1.（15 分）一质量为的平顶小车，以速度沿水M0v平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为的小m 物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间 的动摩擦系数为。 1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶 最少要多长？ 2.若车顶长度符合 1 问中的要求，整个过程中 摩擦力共做了多少功？ 2.（20 分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为和（） 。现让一长为1212、密度为的均匀木棍，竖直地放在上面L121()2的液体内，其下端离两液体分界面的距离为，由3 4L静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。 假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计， 且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动， 未露出液面，也未与容器相碰。第第 17 届预赛届预赛1.（20 分）如图预 17-8 所示，在水平桌面上放有长 木板，上右端是固定挡板，在上左端和中CCPC 点处各放有小物块和，、的尺寸以及的厚ABABP 度皆可忽略不计，、之间和、之间的距离皆ABBP 为。设木板与桌面之间无摩擦，、之间和LCAC 、之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为；BC 、（连同挡板）的质量相同开始时，ABCP 和静止，以某一初速度向右运动试问下列情BCA 况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块的初速度应满足的条件，或定量说明不能发生的A0v理由（1）物块 与发生碰AB 撞； （2）物块 与发生碰AB 撞（设为弹性 碰撞）后，物 块与挡板B 发生碰撞；P （3）物块与挡板发生碰撞（设为弹性碰撞）BP 后，物块与在木板上再发生碰撞；BAC （4）物块从木板上掉下来；AC （5）物块从木板上掉下来BC第第 18 届预赛届预赛1.（25 分）如图预 185 所示，一质量为、长为M 带薄挡板的木板，静止在水平的地面上，设木板LP 与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆 为质量为的人从木板的一端由静止开始相对于m 地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然 抓住挡板而停在木板上已知人与木板间的静摩擦P 系数足够大，人在木板上不滑动问：在什么条件下， 最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于 多少？ 2.（1 8 分）在用铀 235 作燃料的核反应堆中，铀 235 核吸收一个动能约为 0.025的热中子（慢中eV 子）后，可发生裂变反应，放出能量和 23 个快中 子，而快中子不利于铀 235 的裂变为了能使裂变反 应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一 种减速的方法是使用石墨（碳 12）作减速剂设中 子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为的快中子需要与静止的碳原子碰撞多01.75MeVE 少次，才能减速成为 0.025的热中子？eV第第 19 届预赛届预赛（15 分）今年 3 月我国北方地区遭遇了近 10 年来最 严重的沙尘暴天气现把沙尘上扬后的情况简化为如 下情景：为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬v 浮在空中（不动） 这时风对沙尘的作用力相当于空 气不动而沙尘以速度竖直向下运动时所受的阻v 力此阻力可用下式表达2fAv其中为一系数，为沙尘颗粒的截面积，为空气A 密度智浪教育普惠英才文库（1）若沙粒的密度 ，沙尘颗33 S2.8 10 kg m粒为球形，半径，地球表面处空气密42.5 10mr 度，试估算在地面附近，3 01.25kg m0.45上述的最小值1vv（2）假定空气密度随高度的变化关系为h，其中为处的空气密度，0(1)Ch00h 为一常量，试估算当C411.18 10mC时扬沙的最大高度 （不考虑重力加速19.0 m sv 度随高度的变化）第第 16 届预赛届预赛1.参考解答 1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用， 当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动， 而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速 度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。 令表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小v 车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动 量守恒，即0()MvmM v（1） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩 擦力对物块所做的功，即2 11 2mvmgs（2） 其中为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦1s力对小车所做的功，即22 0211 22Mvmvmgs （3）其中为小车移动的距离。用 表示车顶的最小长度，2sl则21lss（4）由以上四式，可解得2 0 2()Mvlg mM（5）即车顶的长度至少应为。2 0 2()Mvlg mM2由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统 动量的增量，即22 011()22WmM vMv（6） 由（1）、（6）式可得2 0 2()mMvWmM （7）2.参考解答 1用表示木棍的横截面积，从静止开始到其S 下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由121()2LSg1LSg牛顿第二定律可知，其下落的加速度21 1 12ag （1）用表示所需的时间，则1t2 1 131 42La t（2） 由此解得12 1 213 () 2()Ltg （3） 2木棍下端开始进入下面液体后，用表示木L 棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为121()2LSg当时，浮力小于重力；12()L SgLL SgLL当时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的0L 智浪教育普惠英才文库平衡位置用表示在此平衡位置时，木棍在上面0L液体中的长度，则此时有1210201()()2LSgL SgLLSg（4） 由此可得02LL（5） 即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状 态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为 轴，向上为正，则当木棍中点的坐标时，木棍z0z 所受合力为零当中点坐标为时，所受合力为z121221111()()222LSgLz SgLz SgSgzkz 式中 21()kSg（6） 这时木棍的运动方程为121()2zkzLSa为沿方向加速度 zaz22112()2()zgzazL 22112()2()g L（7） 由此可知为简谐振动，其周期 （8）1221()222()LTg为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动 的振幅木棍下端刚进入下面液体时，其速度A1 1va t（9） 由机械能守恒可知222 121 111()2 222SL vkzkA（10）式中为此时木棍中心距坐标原点的距离，由1 2zL（1）、（3）、（9）式可求得，再将和（6）式vv 中的代人（10）式得k（11）AL 由此可知，从 木棍下端开始进入 下面液体到棍中心 到达坐标原点所走 的距离是振幅的一 半，从参考圆（如 图预解16-9）上可 知，对应的为 30，对应的时间为 。因此木棍从/12T 下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为2Lz 2Lz 12 2 21()21232()LTtg （12） 3从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的 分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与一样，其过程和1中情况相1a反地对称，所用时间31tt（13） 4总时间为12 123 21()6 62 6()Lttttg （14）第第 17 届预赛届预赛1.参考解答 1. 以表示物块、和木板的质量，当物mABC智浪教育普惠英才文库块以初速向右运动时，物块受到木板施加A0vAC的大小为的滑动摩擦力而减速，木板则受到mgC 物块施加的大小为的滑动摩擦力和物块施AmgB加的大小为的摩擦力而做加速运动，物块则因受木f板施加的摩擦力作用而加速，设、三CfABC者的加速度分别为、和，则由牛顿第二定律，AaBaCa有AmgmaCmgfmaBfma事实上在此题中，即、之间无相对运BCaaBC动，这是因为当时，由上式可得BCaa1 2fmg（1） 它小于最大静摩擦力可见静摩擦力使物块、mgB 木板之间不发生相对运动。若物块刚好与物块CA 不发生碰撞，则物块运动到物块所在处时，BAB 与的速度大小相等因为物块与木板的速ABBC度相等，所以此时三者的速度均相同，设为，由动1v量守恒定律得013mvmv（2）在此过程中，设木板运动的路程为，则物块C1s运动的路程为，如图预解17-8所示由动能A1sL定理有（3）22 10111()22mvmvmg sL （4）2 111(2 )2m vmgs或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内 部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（3）与（4） 式等号两边相加），即22 1011(3 )22m vmvmgL （5） 式中就是物块相对木板运动的路程解（2）、LAC （5）式，得03vgL（6）即物块的初速度时，刚好不与发A03vgLAB生碰撞，若03vgL，则将与发生碰撞，故AB与发生碰撞的条件是AB03vgL （7）2. 当物块的初速度满足（7）式时，与A0vA将发生碰撞，设碰撞的瞬间，、三者的BABC速度分别为、和，则有AvBvCvBAvvBCvv（8） 在物块、发生碰撞的极短时间内，木板对它ABC 们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计。故在碰撞过 程中，与构成的系统的动量守恒，而木板的ABC 速度保持不变因为物块、间的碰撞是弹性的，AB 系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和 机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后、A交换速度，若碰撞刚结束时，、三者的BABC速度分别为、和，则有AvBvCvBAvvBAvv智浪教育普惠英才文库CCvv由（8）、（9）式可知，物块与木板速度相等，AC 保持相对静止，而相对于、向右运动，以后BAC 发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块 替换继续向右运动。BA 若物块刚好与挡板不发生碰撞，则物块以BPB速度从板板的中点运动到挡板所在处时，BvCP与的速度相等因与的速度大小是相等的，BCAC 故、三者的速度相等，设此时三者的速度ABC为根据动量守恒定律有2v023mvmv（10）以初速度开始运动，接着与发生完全弹A0vB性碰撞，碰撞后物块相对木板静止，到达ACB 所在处这一整个过程中，先是相对运动的路PAC 程为，接着是相对运动的路程为，整个系统LBCL 动能的改变，类似于上面第1问解答中（5）式的说 法等于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和， 即22 2011(3 )222m vmvmgL （11） 解（10）、（11）两式得06vgL（12）即物块的初速度时，与碰撞，但A06vgLAB与刚好不发生碰撞，若06vgL，就能使BP与发生碰撞，故与碰撞后，物块与挡板BPABB 发生碰撞的条件是P06vgL （13）3. 若物块的初速度满足条件（13）式，则A0v在、发生碰撞后，将与挡板发生碰撞，设ABBP在碰撞前瞬间，、