抗震工程概论教案 第 10 讲 10.4 滞回曲线的主要特征 1、一般特点 下面以钢筋混凝土柱为例，简要介绍钢筋混凝土构件的一般滞回特点（见图 10.21） 。在 循环荷载作用下，钢筋混凝土构件会呈现以下三个一般的特点： (1) 混凝土受拉开裂、钢筋受拉屈服使构件的刚度降低（发生刚度退化） ； (2) 屈服后同一级位移处，第二次加载时，构件的承载力和刚度均比第一次低（即发生 刚度退化和强度退化） ； (3) 平均刚度（同循环中峰点峰点连线的斜率）随位移增大而降低。 开裂屈服PO图 10.21 钢筋混凝土柱及其滞回曲线 2、曲线图形 根据构件材料、受力和变形的不同，结构构件的滞回曲线呈现不同的形状，以下介绍四 种基本形态： (1) 梭形 对于钢结构和钢筋混凝土受弯构件，其滞回曲线形状呈梭形，如图 10.22 所示。 曲线特点：滞回环饱满；耗能多(滞回环面积大)；同一位移处，循环曲线接近，无降低 或降低很小，即刚度和强度退化小。 OP图 10.22 滞回曲线形状梭形 (2) 弓形 钢筋混凝土压弯构件的滞回曲线呈弓形，如图 10.23 所示。 曲线特点：曲线的中间捏拢。 捏拢现象是由于构件的剪切变形产生的斜裂纹张合造成的， 在反向加载时， 只需施加较 小的力即可以使斜裂纹闭合，而在此过程中将产生较大的位移，该段曲线亦称“滑移”段。 1抗震工程概论教案 第 10 讲 受弯的混凝土构件出现裂纹后也会出现捏拢现象。 OP图 10.23 滞回曲线形状弓形 (3) 反 S 形 当钢筋混凝土构件中的剪应力较大，发生剪切破坏时，构件的滞回曲线呈反 S 形，如 图 10.24 所示。 曲线特点：与(2)相比，滞回曲线出现更长的滑移段，反映更多的滑移影响，曲线包围 的面积缩小，耗能能力降低。 OP图 10.24 滞回曲线形状反 S 形 (4) Z 形 当钢筋混凝土梁柱节点发生滑移、锚固破坏后，如图 10.25 所示，卸载时构件端部会发 生更大的滑移和转角。 曲线特点：滞回曲线呈现 Z 形，滑移段更长。 图 10.25 滞回曲线形状Z 形 2抗震工程概论教案 第 10 讲 其中第(2)、(3)和(4)项的特点主要取决于滑移量的大小。 3、骨架曲线(Skeleton Curve) 恢复力模型主要由两部分组成，一是骨架曲线，二是具有不同特性的滞回关系（规则） 。 所谓骨架曲线是指往复加载时各次滞回曲线峰点的连线（包络线） 。骨架曲线给出结构或构 件发生塑性变形后，内力或应力的路径。 试验表明， 一般情况下滞回曲线峰点的连线与单调加载时的荷载位移曲线 （力变形 曲线）很相近，如图 10.26 所示。这样，可以用静力单调加载得到的曲线代替往复加载时的 骨架曲线。 两种试验方法给出的骨架曲线形状相近，但往复加载时的极限荷载略低。 mycuPPyPc(Pu,u)Pm单调加载往复加载O图 10.26 骨架曲线 由骨架曲线可以分析结构或构件的承载力和变形能力， 并定义表征构件特征的若干控制 点。 如图 10.26 所示， 图中 P 和 分别表示荷载 （力或弯矩） 和位移 （线位移、 曲率和转角） ， 下标符号 c 表示开裂；y 表示屈服；m 表示最大；u 表示极限。 在钢筋混凝土（RC）结构或构件的承载力中，屈服承载力Py、最大承载力Pm和极限承 载力Pu是最为关心的。 最大承载力Pm为荷载位移曲线的峰值点对应的荷载值； 极限承载力 Pu对应于极限状态（倒塌）时的荷载，但由于极限状态通常难以准确确定，有时也简单地取 Pu(0.850.9) Pm。 结构和构件的延性是反映其屈服后变形能力大小的主要参数，延性系数定义为 yu = 其中极限位移u可以取为Pu(0.850.9)Pm时对应的位移（或曲率、转角） ，y为屈服时位 移（或曲率、转角） 。 延性系数的计算需要确定屈服位移y，但有时屈服位移的确定并不唯一，因为屈服点 不好确定，它受到轴力的影响，不同研究者可能定出不同的屈服位移y，但一般用受拉钢筋 屈服作为标准来确定构件的屈服点。 关于延性多大合适，无很具体规定，一般认为 34 是一个合适的范围，当然仅从提 高结构屈服破坏后的变形能力考虑，延性的增大有力于提高结构的抗震能力。 结构或构件的极限状态也可以用结构或构件的变形定义， 例如建筑抗震设计规范给出了 大震作用下不同类型结构层间位移u的限值，例如，对于RC框架结构，容许的层间位移角 为 1/50，而=u/h，h为层高。而下降段的稳定性可以用比值u/m来衡量。 3抗震工程概论教案 第 10 讲 4、刚度的定义 结构超过弹性以后的非线性性质， 主要是结构刚度的改变。 钢筋混凝土构件的典型滞回 曲线如图 10.27 所示，由图 10.27 可以定义构件不同的刚度。 ABCDPO图 10.27 钢筋混凝土构件的典型滞回曲线 (1) 初始刚度：弹性刚度； (2) 开裂刚度：OA； (3) 屈服刚度：OB； (4) 等效刚度：OC，等效刚度随循环次数增加而降低； (5) 卸载刚度：CD，卸载刚度接近于开裂刚度或屈服刚度。 以上定义的刚度，除(1)外，均指割线刚度。当然也可以定义切线刚度。 10.4 阻尼耗能和弹塑性耗能 在结构振动过程中存在能量的耗散， 引起结构振动耗能的原因主要有两个方面： 阻尼耗 能和弹塑性耗能。 1 阻尼耗能 阻尼和弹性一样，是结构或介质的一种重要性质。在结构作弹性振动的情况下，阻尼引 起结构能量的耗散。常见阻尼有以下一些类型： (1) 摩擦阻尼 摩擦阻尼力的计算公式为 rFc= 其中系数 c 为常数，号取值与速度方向相反。 摩擦阻尼发生在固体相互摩擦处，例如结构构件连接处、板墙连接处、螺栓、非结构构 件与结构连接处。摩擦阻尼是结构阻尼，在建筑总阻尼中占很大比例。 (2) 粘性阻尼 粘性阻尼力的计算公式为 4抗震工程概论教案 第 10 讲 ucFr&= 其中 c 为常数，称为粘性阻尼系数。粘性阻尼力的大小与运动速度成正比，方向与速度方向 相反。 粘性阻尼可发生在固体相互接触、但有润滑剂存在的地方。 (3) 流体阻尼 流体阻力的计算公式为 2ucFr&= 其中 c 是常数。流体阻力的大小与速度平方成正比，正负号应使流体阻力与速度方向相反。 流体阻尼发生在固体和流体相对运动过程中， 是固体在水或空气中运动时， 由水或空气 产生的阻力而引起的。 (4) 材料阻尼 对于理想的线弹性材料，当构件的变形至 时，储存的能量为 P/2，如图 10.28 所示。 当荷载卸载至零时，构件的变形 0，而能量也全部释放，即对于理想的线弹性材料，材 料的耗能等于零。 PPO图 10.28 线弹性材料储存的能量 实际情况中， 当材料发生变形时， 组成材料的一些原子群被打破成小群， 晶格重新排列， 这需要消耗一些能量；当卸载时，并不是所有储存的能量都释放出来，因为一些能量变成热 能，被摩擦耗掉，如图 10.29 所示。 PP耗能释放的能量POO图 10.29 材料阻尼耗能 5抗震工程概论教案 第 10 讲 如果受反复荷载作用， 滞回曲线包围的面积等于材料变形耗散的能量， 而材料阻尼的大 小与材料耗散的能量有关。 一般材料阻尼都很小，但有一些材料，例如橡胶、铅等，材料阻尼大，可以制成大阻尼 的装置，用于结构的减震和隔震。 不管哪种阻尼，体系振动时，为克服阻尼力障碍，都有能量的散失，耗散能量的大小即 为阻尼力所做功的负值。 在众多的阻尼中，粘性阻尼力比较简单，应用最为广泛，而其它阻尼力可以用粘性阻尼 力近似代替。 在结构分析中，常采用Rayleigh阻尼，其阻尼系数（矩阵）C和振型阻尼比n由下式给 出 n nnbabKaMC21 2,+=+= 即阻尼与结构的质量和刚度成正比。 上式中，比例系数 a 和 b 可以用下式计算 22222()2()ijji ij jijjiijiab =i，ji振型和j振型相应的振型阻尼比；i，ji振型和j振型相应的自振频率。 若ij，则a，b的计算公式为 22ijijijab=+=+对应于不同振动频率的阻尼比为 1 22ab=+ 振型阻尼比n与自振频率的关系如图 10.30 所示。 图 10.30 振型阻尼比与自振频率的关系 6抗震工程概论教案 第 10 讲 不同振型的振型阻尼比一般是不同的，但其规律性的研究所见不多，一般均取同一值， 而且取一阶振型的阻尼比。 2 弹塑性耗能 当结构的变形超过弹性极限，结构发生塑性变形，卸载后结构的变形不能完全恢复，存 在残余变形和能量的损失，即为弹塑性耗能。通过拟静力试验（0= ucum& &）得到在一个 循环中的滞回曲线如图 10.31(a)所示 PPmm-PmmWO(a) (b) 图 10.31 一个循环中的耗能 在结构动力反应中，在运动的一个循环（周期）内，由结构弹塑性引起的耗能等于滞回 环内的面积W。 而对于粘性阻尼引起的在一个振动周期内的耗能W阻尼（如图 10.31(b)所示） 等于 4OABWS=阻尼2 21 21 mmmOABkPS=所以， 22mWk =阻尼其中SOAB为三角形OAB的面积；Pm和m分别为荷载和位移的最大值，如图 10.31 所示。 如果从能量耗散的观点考虑，可以用阻尼耗能表示弹塑性耗能，即令WW阻尼，则等 效粘性阻尼比为 221mkW = 若用上式确定了等效粘性阻尼比 ，则可以建立地震作用下等效结构的运动方程为 22guuuu+= & 其中，(k/m)；k采用弹塑性时的平均刚度。采用以上方法将非线性（弹塑性）结构转 化为线性结构，其效果与非线性结构相同，称为等效线性化方法。 对于更一般问题，常定义耗能指标（Hysteresis energy dissipation index） ，用来表示每一 循环的滞回耗能。 7抗震工程概论教案 第 10 讲 耗能指标Eh的计算公式为 222h mmmWWEpk = 以上计算公式假设在一个振动循环中的正、负位移幅值相同。 PPmm-PmmO图 10.32 一般问题中一个振动循环的滞回曲线示意 与等效粘性阻尼比的计算公式对比可以发现， 耗能指标Eh即为线弹性体系等效粘性阻尼 比，该体系在共振（稳态）振动中的一个循环内耗散的能量为W。 对于不同的滞回模型，均可以计算耗能指标Eh，但表达式可能不同。 8抗震工程概论教案 第 10 讲 第四部分 结构动力反应与抗震设计 9抗震工程概论教案 第 10 讲 第 11 章 结构线弹性地震反应计算 地震作用下结构动力反应计算是结构抗震理论研究和工程设计中的一个重要内容。 所谓 地震作用， 即是指地震引起的结构振动过程中产生的惯性力， 有时也称为地震力或地震荷载。 但由于是间接作用，规范建筑结构设计通用符号、计算单位和规范术语(GBJ83-85)规定 称其为地震作用。 但有时也直接称地震地面运动为地震作用或地震荷载， 此时地震作用与结 构无关。 地震作用与一般荷载的区别：不但与地震地面运动有关，还和结构的性质有关，即和结 构的质量、刚度有关，即结构的自振周期不同，地震作用大小不同。 以上是地震作用的一般定义，可见关于地震作用的具体所指有所不同。前面已介绍，地 震动可以用加速度（或速度、位移）时程表示，也可以用反应谱表示，如果采用反应谱表示， 则地震作用的具体值和结构有关。 目前已发展了一系列结构地震反应分析方法，主要有： 单自由度体系反应谱法 反应谱分析方法 振型分解反应谱法（基底剪力法可视为反应谱法的一