33 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系1了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法 2掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题1柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴， 这样就建立了柱坐标系(如图)设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)， 则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点M的_，这里规定 r，z的变化范围为 0r，02，z. 特别地，r常数，表示的是以z轴为轴的_； 常数，表示的是过z轴的_； z常数，表示的是与xOy平面平行的_ 显然，点M的直角坐标与柱坐标的关系为 Error!【做一做 11】点A的柱坐标是，则它的直角坐标是_(2， 6，7)【做一做 12】点B的直角坐标为(1， ，4)，则它的柱坐标是_3 2球坐标系 设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的距离，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，OMx轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)OP这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点M的_，这里 r，的变化范围为 0r，0，02，特别地，r常数，表示的是_；常数，表示的是以原点为顶点，z轴 为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面点M的直角坐标与球坐标的关系为 Error!【做一做 21】设点M的球坐标为，则它的直角坐标是_(2，3 4，3 4) 【做一做 22】将点M(1，1，)化成球坐标为_61在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？ 剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱 坐标系、球坐标系等 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转 化不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的 坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系 (如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来 解题 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们 可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标 系 2空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x，y，z；而在柱坐标系中，我们需要长 度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r，z. 空间直角坐标：设点M为空间一已知点我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y 轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的 坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)这个组 数(x，y，z)就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐 标(如图所示)坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)这样，通过空间直角坐标系，我们就 建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系 如果点M在yOz平面上，则x0；同样，zOx平面上的点，y0；xOy平面上的点， z0.如果点M在x轴上，则yz0；如果点M在y轴上，则xz0；如果点M在z轴 上，则xy0.如果M是原点，则xyz0 等 这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置， 只是描述的角度不同 答案：答案： 1柱坐标 圆柱面 半平面 平面 rcos rsin 【做一做 11】(，1,7) xrcos 2cos，3 63yrsin 2sin1，z7， 6 点A的直角坐标为(，1,7)3【做一做 12】 x1rcos ，yrsin ，(2， 3，4)3tan .02，x0，r2，z4，3 3点B的柱坐标为.(2， 3，4)2球坐标 以原点为球心的球面 rsin cos rsin sin rcos 【做一做 21】(1,1，) 由公式得2 Error! 点M的直角坐标为(1,1，)2【做一做 22】 设点M的球坐标为(，)，(2 2， 6，34)则r2，tan ，由1212 622x2y2z12126330，知， 6又 tan 1,02，x0，y x1 1.M(1，1，)的球坐标为.3 46(2 2， 6，34)题型一 柱坐标与直角坐标的互化 【例 1】将点M的直角坐标化为柱坐标，将点P的柱坐标化为直角坐标(1)M(1， ，2)；(2)P.3(2， 4，1)分析：利用相关公式代入进行转化求值 反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(r，z)，代入变换公式Error!求r，也可以利用r2x2y2求r，利用 tan 求，在求的时候特别注意y x 角所在的象限，从而确定的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r，z的值代入 变换公式Error!即可 题型二 球坐标与直角坐标的互化 【例 2】将点M的直角坐标化为球坐标，点P的球坐标化为直角坐标(1)M(1， ，2)；3(2)P.(2， 6，3) 分析：利用相关公式代入进行转化求值 反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(r，)，再利 用变换公式Error!求出r，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cOs .由直角坐标求球坐标，在确定和的取值时，y xz r 要特别注意和的取值范围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入 变换公式，计算x，y，z的值即可 题型三 柱坐标、球坐标的实际应用 【例 3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为 200 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中 的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来 反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只 是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度 题型四 易错题型 【例 4】将直角坐标系中的点M(3， ，3)转化成柱坐标3 错解：错解：设点M的柱坐标为(r，z)， 则由Error!得Error!tan .3302， 或.5 611 6当 时，r2；当 时，r2.5 6311 63M点的柱坐标为或.(2 3，5 6，3) (2 3，11 6，3)错因分析：在求解时，没有注意还有一个条件即x30， .5 6 另r0，)，故r20 错误3 答案：答案： 【例 1】解：解：(1)设M点的柱坐标为(r，z)， 则有Error!Error!tan .3又02，x0，r2.2 3M点的柱坐标为.(2，2 3，2)(2)设P点的直角坐标为(x，y，z)， 则有Error! 点P的直角坐标为(， ，1)22 【例 2】解：解：(1)设M点的球坐标为(r，)， 则有Error!Error! tan .02，x0，3，r2. 3x2y2z212 3222222cos .cos .2220，. 4M点的球坐标为.(2 2， 4，3) (2)设P点的直角坐标为(x，y，z)， 则有Error!P点的直角坐标为.(1 2，32， 3)【例 3】解：解：以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为 203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为 2.8 m，因此2 1617 217 16点A的柱坐标为.(203，17 16，2.8)【例 4】正解：正解：设点M的柱坐标为(r，z)， 则由Error!得Error!02 且x0， ，r2.5 63M点的柱坐标为.(2 3，5 6，3)1 设点M的直角坐标为(1，9)，则它的柱坐标是( )3A B2,9322,93C D42,9352,932 在球坐标系中，M与N两点间的距离是_ 4,4 6 24,4 33 设点A的柱坐标为，则它的球坐标为_2, 644 用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A、B8,4A，求出这两个截面间的距离38,4B 答案：答案：1D r2，z9，12 325 3点M的柱坐标为.(2，5 3，9)24 设点M的直角坐标为(x，y，z)，则(4， 4，6) Error! M点的直角坐标为(， ，2)，622 同理，N点的直角坐标为(， ，2)262 |MN| 6 22 2 622 22 224.3 设A的直角坐标为(x，y，z)，(2 2， 6，4)则xrcos cos1，2 4yrsin cos1，z，2 46点A的直角坐标为(1,1，)6 设点A的球坐标为(r，) 则有Error!Error! tan 1.又02，x0，r2. 4x2y2z21212 622cos .62 232又0，. 6点A的球坐标为.(2 2， 6，4) 4解：解：如图，由题意可知，O1O2即为两个截面间的距离|OA|OB|8，AOO1，BOO1， 43 4在AOO1中，|OO1|OA|cos4. 42在BOO2中，|OO2|OB|cos4. 42 则|O1O2|OO1|OO2|448，即两个截面间的距离为 8.2222