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22 直线和圆锥曲线的参数方程直线和圆锥曲线的参数方程2.12.1 直线的参数方程直线的参数方程1掌握直线参数方程的标准形式,理解参数t的几何意义 2能依据直线的几何性质,写出它的两种形式的参数方程,体会参数的几何意义 3能利用直线的参数方程解决简单的实际问题1经过点P(x0,y0)、倾斜角是的直线的参数方程 经过点P(x0,y0)、倾斜角是的直线的参数方程为_ 其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数t的几何意义是_,可以用有向线段的数量来表示PM【做一做 11】经过点M(2,3),倾斜角为的直线l的参数方程是_3 4 【做一做 12】直线Error!(t为参数)的倾斜角等于( ) A30 B60 C45 D135 2经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1x2)的直线的参数方程 经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1x2)的直线的参数方程为 _其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数的几何意义是动点M分有向线段的数量QP比.QM MP 当_时,M为内分点; 当0 且1 时,M为外分点; 当0 时,_.直线的参数方程Error!(为参数,1)可以表示点Q(x1,y1)(0 时),但不能 表示点P(x2,y2)如果遇到与点P(x2,y2)有关的问题时,可对点P进行单独检验 【做一做 2】经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( ) AError!(为参数,1) BError!(为参数,1) CError!(为参数,1) DError!(为参数,1)由 直线的参数方程求直线的倾斜角 剖析:如果直线的参数方程是Error!(t为参数)的形式,由方程直接可得出倾斜角,即 方程中的角,例如,直线的参数方程为Error!则直线的倾斜角为 15. 如果不是上述形式,例如直线Error!(t为参数)的倾斜角就不能直接判断了第一种方法:把参数方程改写为Error!消去t,有y1(x1),即y1tan 75(x1),1 tan 15 故倾斜角为 75.第二种方法:把原方程化为标准形式,即Error!可以看出直线的倾斜角为 75. 答案:答案: 1Error!(t为参数) 从点P到M的位移【做一做 11】Error!(t为参数) 根据互化关系,参数方程为Error!(t为参数), 即Error!(t为参数) 【做一做 12】D 由参数方程知Error!两式相加,得直线的普通方程xy1,倾斜 角为,则 tan 1, 135. 2Error!(为参数,1) 0 点M与Q重合【做一做 2】B 设直线PQ上动点M(x,y),参数,则直线PQ的参数方程为QM MPError!(为参数,1)题型一 参数方程与普通方程互化 【例 1】把下面直线的参数方程化为普通方程式,普通方程化为参数方程 (1)化l1:xy10 为参数方程;3 (2)化l2:Error!(t为参数)为普通方程 分析:利用直线方程转化公式求解反思:在(1)(2)中t的几何意义是不同的在(1)中,t的几何意义是有向线段(其M0M中M0为(1,0),M(x,y)为直线l1上任意一点)的长(2)中t的几何意义是(其中M0为M0M(3,1),M(x,y)为直线l2上任意一点)长的一半 题型二 直线的参数方程与倾斜角 【例 2】直线Error!(t为参数)的倾斜角是( ) A20 B70 C110 D160 反思:只有在Error!(t为参数)中,才表示直线的倾斜角如果不是这种形式,则需 要进行转化 题型三 直线参数方程的应用 【例 3】已知直线l:xy10 与抛物线yx2交于A,B两点,求线段AB的长和点 M(1,2)到A,B两点的距离之积 反思:本题涉及普通方程和参数方程的互化,在解题过程中,注意参数t的几何意义 的应用 答案:答案: 【例 1】解:解:(1)令y0,得x1.直线l1过定点(1,0),k.1333 设倾斜角为,则 tan ,cos ,sin .335 6321 2 l1参数方程为Error!(t为参数) (2)原方程可化为Error!Error! 把代入得y1(x3),3 即l2普通方程为xy310.33 【例 2】C 方法一:将原方程改写成 Error!消去t,得ytan 110(x3), 所以直线的倾斜角为 110. 方法二:将原参数方程化为Error! 令tt,则Error! 所以直线的倾斜角为 110.【例 3】解:解:l过定点M,且l的倾斜角为,所以它的参数方程是Error!(t为参数)3 4 即Error!(t为参数) 把代入抛物线方程,得t2t20.2解得t1,t2. 2 102 2 102 由参数t的几何意义,得|AB|t1t2|,|MA|MB|t1t2|2.101 已知直线l的参数方程是(t为参数),其中角的范围是,1sin , 2cosxt yt ,2 则直线l的倾斜角是( )A B C D3 2 22 直线 2xy10 的参数方程为( )A(t为参数)51,5 2 535xtyt B(t为参数)15 ,35xtyt C(t为参数)2, 32xt yt D(t为参数)51,3 533xtyt 3 一条直线的参数方程是(t为参数),则点(3,6)到这条直线的距离是1 24xt yt _ 4 已知两点A(2,1),B(1,2)和直线l:x2y50.求过点A,B的直线的参数方程, 并求它与直线l的交点的坐标 答案:答案: 1A 将原参数方程改写成Error!消去参数t,得y2(x1)tan,由和倾斜角的范围可知直线l的倾斜角(3 2)( 2,)为.3 2 2A 根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为,则 tan 2,sin ,cos ,2 5555 所以直线的参数方程是Error!(t为参数)3 根据参数方程可得 4xy20,20 1717则d.|4 362|4212201720 17174解:解:设直线AB上动点P(x,y),选取参数,则直线AB的参数方程为AP PBError!(为参数)把代入x2y50 得 .1 2把 代入得Error!即交点坐标为(5,0)1 2
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