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绝密绝密 启用前启用前2008 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)数学(文史类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 10 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第第卷卷注意事项:注意事项:1.答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3.本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。参考公式:如果时间 A,B 互斥,那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B).24SR如果事件 A,B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径.P(AB)=P(A)P(B)一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)设集合,则|08xxNU 1,2,4,5S 3,5,7T ()UST I(A) (B) (C) (D)1,2,41,2,3,4,5,71,21,2,4,5,6,8解析:因为,所以,选 A1,2,4,6,8T U()1,2,4UST I(2)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为yx, 1210yxyxyx yxz 5(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:如图,由图象可知目标函数yxz 5过点时取得最大值,选 D(1,0)Azmax5z(3)函数()的反函数是1yx 04x(A)() (B)()2(1)yx13x2(1)yx04x(C)() (D)()21yx13x21yx04x解析:当时,解得,选 A04x ,311x1yx 12( )(1)fxx(4)若等差数列的前 5 项和,且,则na525S 23a 7a (A)12 (B)13 (C)14 (D)15解析:,所以,1524 545()5()722aaaaSa42 72255132aaaada 选 B(5)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是ba,ba (A) (B) ,/,ba/,ba(C) (D)/,ba,/,ba解析:选 C,A、B、D 的反例如图 (6)把函数()的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得sinyxxR3图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是1 2(A), (B),sin(2)3yxxRsin()26xyxR(C), (D),sin(2)3yxxRsin(2)32yxxR解析:选 C,1 32sinsin()sin(2)33yxyxyx 向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍(7)设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心22221xy mn0m 0n 28yx率为,则此椭圆的方程为1 2(A) (B) (C) (D)22 11216xy22 11612xy22 14864xy22 16448xy解析:抛物线的焦点为,椭圆焦点在轴上,排除 A、C,由排除 D,选 B(2,0)x1 2e (8)已知函数,则不等式的解集是2,0( )2,0xxf xxx 2( )f xx(A) (B) (C) (D) 1,1 2,2 2,1 1,2解析:依题意得,选221100001122xxxxxxxxx 或或A(9)设,则5sin7a2cos7b2tan7c(A) (B) (C) (D)cbaacbacbbac解析:,因为,所以,选2sin7a2 472220cossin1tan7772 D(10)设,若对于任意的,都有满足方程,1a ,2 xaa2 ,ya aloglog3aaxy这时的取值集合为a(A) (B) (C) (D)2 |1aa |2a a 3|2aa2,3解析:易得,在上单调递减,所以,故,选3ayx ,2 aa2 2,2yaa2122aaaa B第第卷卷注意事项:1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共 12 小题,共 100 分。二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.)(11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人为 了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽 取超过 45 岁的职工_人解析:依题意知抽取超过 45 岁的职工为258010200(12)的二项展开式中,的系数是_(用数字作答) 52()xx3x解析:,所以系数为 1055 2 1552( )2rrrrrr rTC xC xx 1r (13)若一个球的体积为,则它的表面积为_34解析:由得,所以344 33R3R 2142SR(14)已知平面向量,若,则(2,4)a r( 1,2)b r()caa b br rrrr_|c r解析:因为,所以(2,4)6( 1,2)(8, 8)c r| 8 2c r(15)已知圆 C 的圆心与点关于直线对称直线与圆( 2,1)P 1yx34110xyC 相交于两点,且,则圆 C 的方程为_BA,6AB解析:圆心的坐标为,所以,圆的方程为(0, 1)2 22 2( 4 11)3185r 22(1)18xy(16)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝 色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,则不同的排法共有_种(用数字作答) 解析:数字之和为 10 的情况有 4,4,1,1、 4,3,2,1、 3,3,2,2所以共有种不同排法4444 4442218432AAA三、解答题(本题共三、解答题(本题共 6 道大题,满分道大题,满分 76 分)分)(17) (本小题满分 12 分)已知函数()的最小值正周期是22s(incoss1)2cof xxxx,0xR2()求的值;()求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合( )f x( )f xx(17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识,考查基本运算能力满分 12 分sin()yAx()解: 242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12 xxxxxxxxf由题设,函数的最小正周期是,可得,所以 xf2 222 2()由()知, 244sin2 xxf当,即时,取得最大值 1,所以函kx2244Zkkx21644sinx数的最大值是,此时的集合为 xf22x Zkkxx,216|(18) (本小题满分 12 分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球 2 次21p均未命中的概率为161()求乙投球的命中率;p ()求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; ()若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率 (18)本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用 概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 ()解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 1611122pBP解得或(舍去) ,所以乙投球的命中率为43p45 43解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B由题意得,于是或(舍去) ,1( ) ( )16P B P B 1( )4P B 1( )4P B 故31( )4pP B 所以乙投球的命中率为3 4()解法一:由题设和()知 21,21APAP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为431AAP解法二:由题设和()知 21,21APAP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 431 2APAPAPAPC()由题设和()知, 41,43,21,21BPBPAPAP甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两 次均不中;甲两次均不中,乙中 2 次。概率分别为, 1631 21 2BPBPCAPAPC,641BBPAAP 649BBPAAP所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为3211 649 641 163(19) (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥中,底面是矩形已知ABCDP ABCDo60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB()证明平面;ADPAB()求异面直线与所成的角的大小;PCAD ()求二面角的大小ABDP(19)本小题主要考查直线和平面垂直,异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空 间想象能力,运算能力和推理论证能力满分 12 分()证明:在中,由题设可得PAD22, 2PDPA于是.在矩形中,.又,222PDADPAPAAD ABCDABAD AABPAI所以平面ADPAB()解:由题设,所以(或其补角)是异面直线与所成的ADBC /PCBPCAD 角. 在中,由余弦定理得PAB由()知平面,平面,ADPABPBPAB所以,因而,于是是直角三PBAD PBBC PBC7cos222PABABPAABPAPB角形,故27tanBCPBPCB所以异面直线与所成的角的大小为PCAD27arctan()解:过点 P 做于 H,过点 H 做于 E,连结 PEABPH BDHE 因为平面,平面,所以.又,ADPABPHPABPHAD AABADI因而平面,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知,PHABCD ,从而是二面角的平面角。PEBD PEHABDP 由题设可得,134
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