20092009 年高考三角函数复习讲义年高考三角函数复习讲义知识要点知识要点: : 一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度；弧长公式： 扇形面积：S=rl2 21 21rrl三角函数线：如右图，有向线段 AT 与 MP OM 分别叫做 的的正切线、正弦线、余弦线。 三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系、倒数关系。四、诱导公式： 记忆：单变双不变，符号看象限。单双：即看中的是的单倍 fnf 2nn2还是双倍，单倍后面三角函数名变，双不变则三角函数名不变；符号看象限：即把看成锐角，加上终边落在第几象限则是第几象限角的符号。2n五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题,一般先化 简成单角三角函数式。然后再求解。 六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：1、 常数代换法：如：2222tanseccottancossin12、 配角方法： )()(2 223、 降次与升次： 以及这些公式的变式应用。22cos1sin222cos1cos2 24、（其中）的应用，注意的符号与象限。sincossin22babaabtan5、 常见三角不等式：（1） 、若 （2） 、若xxxxtansin.2, 0 则2cossin1.2, 0 xxx则（3） 、1cossinxx6、 常用的三角形面积公式：（1） 、 （2） 、cbachbhahS21 21 21BacAbcCabSsin21sin21sin21（3） 、22221OBOAOBOAS七、三角函图象和性质： 正弦函数图象的变换：xAyxyxyxysinsinsinsin振幅变换平移变换横伸缩变换三角函数的图象和性质定义域RR值 域RR周期性奇偶性对称性奇函数，图象关于坐标原点对称偶函数，图象关于 轴对称奇函数，图象关于坐标原点对称奇函数，图象关于原点对称单调性在区间 上单调递增；在区间 上单调递减。在区间 上单调递增；在区间 上单调递减。在区间上单调递增。在区间 上单调递减。考点分析：考点分析： 考点一考点一: 求三角函数的定求三角函数的定义义域、域、值值域和最域和最值值、三角函数的性、三角函数的性质质（包括奇偶性、（包括奇偶性、单调单调性、周期性）性、周期性）这类问题这类问题在在选择题选择题、填空、填空 题题、解答、解答题题中出中出现较现较多，主要是考多，主要是考查查三角的恒等三角的恒等变换变换及三角函数的基及三角函数的基础础知知识识。 。任意角 的概念弧长与扇形 面积公式角度制与 弧度制同角三函数 的基本关系任意角的 三角函数诱导公式三角函数的 图象和性质计算与化简 证明恒等式已知三角函 数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用三角函数知识框架图yxMPTA O例 1、已知函数 f(x)=)xcosx(sinlog21（1）求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性。解题思路分析： （1）x 必须满足 sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及，45k2x4k2kZ 函数定义域为，kZ )45k2,4k2()4xsin(2xcosxsin 当 x时，)45k2,4k2(1)4xsin(0 函数值域为2cosxsin0212logy21,21（3） f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函数 f(x)最小正周期为 2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx 的符号。例 2、 （05 年广东）化简并求函数),)(23sin(32)2316cos()2316cos()(ZkRxxxkxkxf的值域和最小正周期.)(xf解： )23sin(32)232cos()232cos()(xxkxkxf)23sin(32)23cos(2xxx2cos4所以函数 f(x)的值域为，最小正周期4 , 42T例 3、 （1）已知 cos(2+)+5cos=0，求 tan(+)tan 的值； （2）已知，求5cos3sincossin2的值。2sin42cos3解题思路分析：从变换角的差异着手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展开得： 13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以 cos(+)cos 得：tan(+)tan=313（1）以三角函数结构特点出发 tan=23tan1tan2 cos3sincossin2 53tan1tan2 57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222 例 4 4 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=2cos2x1y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 2cos2x1=sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+224 424当 2x+=+2k 时,ymax=2+ 4 22即 x=+K(KZ)，y 的最大值为 2+82注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。考点二考点二: 三角与其他知三角与其他知识识的的结结合合,三角函数仍将以三角函数仍将以选择题选择题、填空、填空题题和解答和解答题题三种三种题题型出型出现现， ，难难度会控制在中等偏易的度会控制在中等偏易的程度；程度；例 5、已知 000，0） ，在一个周期内，当 x=时，ymax=2；当 x=时，ymin=-2，则此函数885解析式为A、 B、C、 D、)42xsin(2y)4x2sin(2y)4xsin(2y)8x2sin(2y4、已知 tan，tan 是方程两根，且 ，则 + 等于04x33x2)2,2(A、 B、或 C、或 D、3232 3 332 35、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、86.方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错(考查三角函数与对数函数的图像)7.在ABC 中，(1)已知 tanA= sinB=，则C 有且只有一解，(2)已知 tanA=,sinB=,则C 有且125 54 512 53只有一解，其中正确的是( ) (A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 (考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)8、 （2006 年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,ABC, ,A B C, ,a b c(, )pac bu r(,)qba car/pqu rr则角的大小为 C(A) (B) (C) (D) 6 3 22 39、 （2006 年辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实(0,0)O(1,0)A(0,1)BPABAPABuuu ruuu rOP ABPA PBuuu r uuu ruuuruu u r数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 112211212122 221122 10、( 2006 年湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )| 2| 0abrrx2|0xa xa brr rar brA.0, B. C. D.6, 32,33, 611、函数 f(x)=sin(x+)+cos(x-)的图象关于 y 轴对称，则 =_。312、数 y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。313、知(x-1)2+(y-1)2=1，则 x+y 的最大值为_。（一）解答题14、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a23a852值。15、已知 f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）35325（1）求 f(x)的最小正周期；求 f(x)单调区间；求 f(x)图象的对称轴，对称中心。16、函数 y=cosx-1(0x2)的图像与 x 轴所围成图形的面积是_。(考查三角函数图形的对称变换)17、设三角函数 f(x)=sin(+)，其中 k05kx 3(1)写出 f(x)的极大值 M，极小值 m，最小正周期 T。 (2)试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数 f(x)至少有一个值 是 M 与一个值 m，(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)18、是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是 1？若存在，求出对应23 85a2的 a 值。19. （本小题满分 13 分）已知 A、B、C 是三内角，向量ABC)sin,(cos),3, 1(AAnm且，1nm（1）求角 A； （2）若221 sin23,cossinB BB 求t anC 。20、已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线 xxaxxfcossin34cos42 xf 2 ,4b对称。 （1） 、求实数的值，并求取得最大值时的 x 的集合。 （2） 、求的单调递增区间。12xa xf xf答案与提示答案与提示1、B 2、B 3、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B9 【解析】(1)(1, ),(1)(1,1),(, )APABOPOAOBPBABAPABAPAB uuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r2(1, )( 1,1)( ,)(1,1)2410OP ABPA PB uuu r uuu ruuuruu u r解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是221122 PAB01,故选择答案 B.211210、 B 11、 ，kZ 12、-4 13、 14、 15、 （1）T=6k22 23a