1 证明的再认识证明的再认识2，根据“两直线平行，同位角相等” ，可知A1，由于 A、B、D 三点在同一条直线上，因此 根据平角的定义，12ABC180，所以AABCC180于是可知，不论三角 形的形状如何，它的三个内角的和等于 180图 27.1.3 证明格式表示证明格式表示已知：ABC 求证：ABC180 证明： 如图 27.1.3，延长线段 AB 到 D，过点 B 画 BEAC因为BEAC （画图） ，所以 A1 （两直线平行，同位角相等） ，C2 （两直线平行，内错角相等） ，又因为 12ABC180 （平角的定义） ， 所以 AABCC180 （等量代换） 例 求证： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和图 27.1.4 已知： 如图 27.1.4，CBD 是ABC 的一个外角 求证： CBDAC 证明： 因为AABCC180 （三角形的内角和等于 180） ，所以 AC180ABC （等式的性质） 又因为 ABCCBD180 （平角的定义） ， 所以 CBD180ABC （等式的性质） 因此 CBDAC （等量代换） 由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理 已知： 如图 27.2.2，在ABC 和ABC中，ACBACB90，ABAB，ACAC图 27.2.2 求证： ABCABC 证明 如图 27.2.2 那样，把ABC 和ABC拼在一起因为ACBACB90（已知） ，所以 BC B180（等式的性质） ， 即点 B、C、B 在同一条直线上 在ABB 中，因为ABABAB（已知） ，所以 BB（等边对等角） 在ABC 和ABC中，因为ACBACB（已知） ，BB（已证） ，ABAB（已知） ， 所以 ABCABC（A.A.S.） 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明 PDPE 已知： 如图 27.2.3，OC 是AOB 平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PDOA，PEOB，点 D、E 为垂足求证： PDPE 分析 图中有两个直角三角形PDO 与PEO，容易看出满足（A.A.S.） 定理的条件 证明 因为 PDOA，PEOB（已知） ， 所以 PDOPEO90（垂直的定义） 在PDO 和PEO 中，因为DOPEOP（已知） ，PDOPEO（已证） ，POPO（公共边） ， 所以 PDOPEO（A.A.S） 因此 PDPE（全等三角形的对应边相等） 图 27.2.3 图 27.2.4 已知：如图 27.2.4，QDOA，QEOB，点 D、E 为垂足，QDQE 求证：点 Q 在AOB 的平分线上 分析 为了证明点 Q 在AOB 的平分线上，可以画射线 OQ，利用（H.L.）定理证明QOD QOE，从而得到AOQBOQ 已知： MNAB，垂足为点 C，ACBC，点 P 是直线 MN 上任意一点 求证： PAPB 证明 因为 MNAB（已知） ， 所以 PCAPCB90（垂直的定义） 在PCA 和PCB 中，因为 ACBC（已知） ，PCAPCB（已证） ，PCPC（公共边） ， 所以 PCAPCB（S.A.S） 因此 PAPB（全等三角形的对应边相等） 1. 平行四边形 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 已知：四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条 对角线，然后证明内错角相等图 27.3.1 证明 如图 27.3.1，连结 AC因为ABCD，所以 BACDCA（两直线平行，内错角相等） 在ABC 和CDA 中，因为 ABCD，BACDCA，ACCA，所以 ABCCDA（S.A.S.） 因此 BCADAC（全等三角形的对应角相等） ， BCDA（内错角相等，两直线平行） 所以四边形 ABCD 是平行四边形