切线的判定与性质切线的判定与性质知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径， 切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 【例 1】如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于 E 点，过 E 点作O 的切线，交 BC 于 D 点，DEDC，作 EFAC 于 F 点，交 AD 于 M 点。 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）EMFM。 分析：（1）由于 AC 为直径，可考虑连结 EC，构造直角三角形来解题，要证 BC 是O 的切线，证到13900即可；（2）可证到 EFBC，考虑用比例线段证线段相 等。 证明：（1）连结 EC，DECD，12DE 切O 于 E，2BACAC 为直径，BAC390013900，故 BC 是O 的切线。 （2）13900，BCAC又EFAC，EFBCCDMF ADAM BDEMBDCD，EMFM【例 2】如图，ABC 中，ABAC，O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与 AB 相切 于点 D。求证：AC 是O 的切线。 分析：由于O 与 AC 有无公共点未知，因此我们从圆心 O 向 AC 作垂线段 OE，证 OE 就是O 的半径即可。 证明：连结 OD、OA，作 OEAC 于 EABAC，OBOC，AO 是BAC 的平分线 AB 是O 的切线，ODAB 又OEAC，OEODAC 是O 的切线。 【例 3】如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，OA。r （1）求证：CD 是O 的切线；（2）求的值；OCAD（3）若 ADOC，求 CD 的长。r29分析：（1）要证 CD 是O 的切线，由于 D 在O 上，所以只须连结 OD，证ODDC 即可；（2）求的值，一般是利用相似把转化为其它线段长的OCADOCAD 乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，ADOC可求出AD、OC，根据勾股OCADr29定理即可 求出 CD。例 1 图 321MFOEDCBA例 2 图 EODCBA例 3 图 321ODCBA证明：（1）连结 OD，证ODC900即可； （2）连结 BDAB 为O 的直径，ADB900OBC900，ADBOBC又A3，ADBOBCOCAB OBAD22rABOBOCAD（3）由（2）知，又知 ADOC22rOCADr29AD、OC 是关于的方程的两根x022922rrxx解此方程得，21rx rx42OC，OCrr4CDrrrODOC15162222探索与创新： 【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，CG 切半圆于 E，交 AD 于 F，交 BA 的延长线于 G，GA8。 （1）求G 的余弦值； （2）求 AE 的长。 略解：（1）设正方形 ABCD 的边长为，FAFE6，在 RtFCD 中，a，解得。222CDFDFC222)()(abababa454 54cosbb baa FCCDFCDABCD，GFCD，54cosG（2）连结 BE，CG 切半圆于 E，AEGGBEG 为公共角，AEGEBG21 3216GBGE BEAE在 RtAEB 中，可求得5524AE【问题二】如图，已知ABC 中，ACBC，CAB（定值） ，O 的圆心 O 在 AB 上，并分别与 AC、BC 相切于点 P、Q。 （1）求POQ； （2）设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点 M，点 E 在 CB 的延长线 上，试判断DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。 分析：（1）连结 OC，利用直角三角形的性质易求POQ；（2）试将DOE 用含 的式子表示出来，由于为定值，则DOE 为定值。问题一图 GFEODCBA解：（1）连结 OCBC 切O 于 P、Q，12，OPCA，OQCBCACB，COABCOPCAB，COQCBACAB，POQCOPCOQ2（2）由 CD、DE、CE 都与O 相切得：ODECDE，OEDCED21 21DOE1800（ODEOED）1800（CDECED）211800（1800ACB）2118001800（1800）2120180DOE 为定值。 跟踪训练： 一、选择题： 1、 “圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A、经过半径外端点的直线是圆的切线； B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C、垂直于半径的直线是圆的切线； D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、在 RtABC 中，A900，点 O 在 BC 上，以 O 为圆心的O 分别与 AB、AC 相切于 E、F，若 AB，AC，则O 的半径为（ ）abA、 B、 C、 D、ababba baab 2ba 3、正方形 ABCD 中，AE 切以 BC 为直径的半圆于 E，交 CD 于 F，则 CFFD（ ）A、12 B、13 C、14 D、25 4、如图，过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，连结 AB，在 AB、PB、PA 上分别取一点 D、E、F，使 ADBE，BDAF，连结 DE、DF、EF，则EDF（ ）A、900P B、900P C、1800P D、450P21 21第 3 题图 OFEDCBA第 4 题图 POFEDBA第 6 题图 COEDBA问题二图 NQPEODCBA二、填空题： 5、已知 PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，APB780，点 C 是O 上异于 A、B 的 任一点，则ACB 。 6、如图，ABBC，DCBC，BC 与以 AD 为直径的O 相切于点 E，AB9，CD4， 则四边形 ABCD 的面积为 。 7、如图，O 为 RtABC 的内切圆，点 D、E、F 为切点，若 AD6，BD4，则ABC 的面积为 。 8、如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点 B 的切线，过O 上 A 点的直线ADOC，若 OA2 且 ADOC6，则 CD 。第 7 题图 FCOEDBA第 8 题图 CODBA第 9 题图 CODBA9、如图，已知O 的直径为 AB，BDOB，CAB300，请根据已知条件和所给图形写 出 4 个正确的结论（除 OAOBBD 外）： ； ； ； 。 10、若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20，AD 与 BC 之和为 10，则圆的半径为 。 三、计算或证明题： 11、如图，AB 是半O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动 （不与点 M 重合） ，点 Q 在半O 上运动，且总保持 PQPO，过点 Q 作O 的切线交 BA 的延长线于点 C。 （1）当QPA600时，请你对QCP 的形状做出猜想，并给予证明； （2）当 QPAB 时，QCP 的形状是 三角形； （3）则（1） （2）得出的结论，请进一步猜想，当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置 时，QCP 一定是 三角形。12、如图，割线 ABC 与O 相交于 B、C 两点，D 为O 上一点，E 为的中点， BCOE 交 BC 于 F，DE 交 AC 于 G，ADGAGD。 （1）求证：AD 是O 的切线； （2）如果 AB2，AD4，EG2，求O 的半径。第 11 题图 MQPCOBA第 12 题图 DEFGCBA第 13 题图 ODECBA13、如图，在ABC 中，ABC900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1，求。BCDS14、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于 B，OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C。 （1）求证：CD 是半圆的切线； （2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为，点 A 到直线 CD 的距离为，xy 试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。yxx第 14 题图 MODCBA第 15 题图 TEPOCBA15、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 的半径 AO 上运动， PCAB 交O 于 E，PT 切O 于 T，PC2.5。 （1）当 CE 正好是O 的半径时，PT2，求O 的半径；（2）设，求出与之间的函数关系式；yPT2xAC yx（3）PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC 的面积； 若不能，请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题：DCBB 二、填空题：5、51 或 129；6、78；7、24；8、；329、ACB900，AB2BC，DC 是O 的切线，BDBC 等；10、2 三、计算或证明题： 11、 （1）QCP 是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形12、 （1）证 ODAD；（2）；3213、过 D 作 DFBC 于 F，；518BCDS14、 （1）证ODC900；（2）连结 BD，过 A 作 AECD 于 E，证ADBAED，则有，即，ADAB AEAD4x xy2 41xy )40( x15、 （1）O 的半径为 1.5；（2）连结 OP、OT，由勾股定理得化简得（01.5） ；（3）PTC 不可2225 . 1)5 . 1 (5 . 2xy25. 632xxyx能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形。理由如下：当 PTCT 时，由于 PT 切O 于 T，所以 CT 过圆心，即 CT 就是O 的半径，由 （1）知，CT1.5，PT2，即 PTCT，故PTC 不可能变为以 PC 为斜边的等腰直角三 角形。