2011 年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷一、选择题 (本题共 32 分，每小题 4 分) 1. 的绝对值是( )3 4A. B. C. D. 4 34 33 43 4 2. 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人。将 665 575 306 用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为( )A. B. C. D. 766.6 1080.666 1086.66 1076.66 10 3. 下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A. 等边三角形B. 平行四边形C. 梯形D. 矩 形 4. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点O，若，则的值为( )1AD 3BC AO COA. B. C. D. 1 21 31 41 9 5. 北京今年 6 月某日部分区县的高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头 沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032 则这 10 个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( )A. 32，32B. 32，30 C. 30，32D. 32，31 6. 一个不透明的盒子中装有 2 个白球，5 个红球和 8 个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它 区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( )A. B. C. D. 5 181 32 151 157. 抛物线的顶点坐标为( )265yxxA. （ ，） B. （ ，） C. （，） D. （，3434343 ）4 8. 如图在 Rt中，AB=2，DABC90ACB30BAC 是 AB 边上的一个动点（不与点 A、B 重合） ，过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E。设，则下列图象中，能ADxCEy表示 y 与 x 的函数关系图象大致是( )OADBCECA BD二、填空题 (本题共 16 分，每小题 4 分)9. 若分式的值为 0，则 x 的值等于_。8x x10. 分解因式：_。321025aaa11. 若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是_。12. 在右表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为（其中 i，j 都是不大于 5 的正整数） ，对于表, i ja中的每个数，规定如下：当时，；当时，。例如：当，时，, i jaij,1i jaij,0i ja2i 1j 。按此规定，_；表中的 25 个数中，,2,11i jaa1,3a共有_个 1；计算的值为1,1,11,2,21,3,31,4,41,5,5iiiiiaaaaaaaaaa_。 三、解答题 (本题共 30 分，每小题 5 分)13. 计算：。101( )2cos3027(2214. 解不等式：。4(1)56xx15. 已知，求代数式的值。2220aabb(4 )(2 )(2 )a abab ab16. 如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，BEDF，。AF ABFD 求证：。AEFC1, 1a1, 2a1, 3a1, 4a1, 5a2, 1a2, 2a2, 3a2, 4a2, 5a3, 1a3, 2a3, 3a3, 4a3, 5a4, 1a4, 2a4, 3a4, 4a4, 5a5, 1a5, 2a5, 3a5, 4a5, 5aEBCDFA17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象2yx 与反比例函数的图象的一个交点为 A（，） 。kyx1n（1）求反比例函数的解析式；kyx（2）若 P 是坐标轴上一点，且满足，直接写出点 P 的PAOA 坐标。18. 列方程或方程组解应用题： 京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自 驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点 18 千米。他用乘公交车的方式平均每小时行驶 的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的。小王用自驾车方式上班平均每小时行3 7 驶多少千米？三、解答题 (本题共 20 分，每小题 5 分) 19. 如图，在ABC，中，D 是 BC 的中点，90ACBDEBC，CEAD，若，求四边形 ACEB2AC 4CE 的周长。20. 如图，在ABC，以 AB 为直径的O 分ABAC 别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且。1 2CBFCAB（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若，求 BC 和 BF 的长。5AB 5sin5CBFDEFAOCBFEDABC份321. 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分。请根据以上信息解答下列问题： （1）2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图； （3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况， 小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关。如：一辆排量为 1.6L 的轿车，如 果一年行驶 1 万千米，这一年，它碳排放量约为 2.7 吨。于是他调查了他所居住小区的 150 辆 私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示。排量（L）小 1.61.61.8大于 1.8数量（辆）29753115如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车 （假设每辆车平均一行行驶 1 万千米）的碳排放总量约为多少万吨？ 22. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O。 若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，的长度为三边长的三角形的面积。ADBCOABDCEOABDC小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些 分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了 翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过 点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的BDE 即是以AC， BD，的长度为三边长的三角形（如图 2） 。ADBC 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：份份份份份1份2如图 3，ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF。 （1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边 长的一个三角形（保留画图痕迹） ； （2）若ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角 形的面积等于_。五、解答题 (本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分， 第 25 题 8 分) 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点2(3)3(0)ymxmxm （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A 的坐标； （2）当时，求 m 的值；45ABC（3）已知一次函数，点 P（n，0）是 x 轴上的一ykxb 个动点，在（2）的条件下，过点 P 垂直于 x 轴的直线交这 个一次函数的图象于点 M，交二次函数 的图象于 N。若只有当2(3)3(0)ymxmxm 时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解22n 析式。24. 在ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F。 （1）在图 1 中证明；CECF （2）若，G 是 EF 的中点（如图 2） ，直接写出BDG 的度数；90ABC （3）若，FGCE，分别连结 DB、DG（如图 3） ，求BDG 的度数。120ABCFGCEFEDAC BGFEDAC BGFEDACB25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组成 的图形叫作图形图形 C（注：不含 AB 线段） 。已知 A（，） ，B（ ，） ，AEBF，且半圆与1010 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上。（1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离；（2）当一次函数的图象与图形图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围；yxb当一次函数的图象与图形图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围；yxb（3）已知AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形图形 C 上，且 不都在两条射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围。2011 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知： 1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主 要过程正确写出即可。 2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题 (本题共 32 分，每小题 4 分) 题号12345678 答案DCDBABAB 二、填空题 (本题共 16 分，每小题 4 分) 题号9101112 答案8a(a5)2圆柱0151 三、解答题 (本题共 30 分，每小题 5 分) 13. (本小题满分 5 分)解 ()12cos30(2)02127=2231233=23133=23。3 14. (本小题满分 5 分)解 去括号，得 4x45x6，移项，得 4x5x46，合并，得x2解得 x0)的图象与 x 轴的交点, 令 y=0，即 mx2(m3)x3=0，解得 x1= 1, x2=,又 点 A 在点 B 左侧且 m0,m3 点 A 的坐标为(1,0).(2) 由(1)可知点 B 的坐标为(,0).m3 二次函数的图象与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为(0, 3). ABC=45,=3，m=1。m3(3) 由(2)得，二次函数解析式为 y=x22x3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2 和 2,由此可得交点坐标为(2,5)和(2, 3).将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kxb 中，得 2kb=5,且 2kb= 3,解得 k= 2，b=1， 一次函数的解析式为 y= 2x1。24. (本小题满分 7 分)(1) 证明：如图 1. AF 平分BAD，BAF=DAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/BC，AB/CD。 DAF=CEF，BAF=F， CEF=F， CE=CF。(2) BDG=45.(3) 解 分别连结 GB、GE、GC(如图 2). AB/DC，ABC=120， ECF=ABC=120， FG /CE 且 FG=CE, 四边形 CEGF 是平行四边形.由(1)得 CE=CF, CEGF 是菱形, EG=EC，GCF=GCE=ECF=60.21 ECG 是等边三角形. EG=CG,GEC=EGC=60,GEC=GCF,BEG=DCG,由 AD/BC 及 AF 平分BAD 可得BAE=AEB，AB=BE.在 ABCD 中，AB=DC.BE=DC,由得BEG DCG. BG=DG，1=2, BGD=13=