第二十七章第二十七章相似相似复习讲练复习讲练 专题一：图形的相似专题一：图形的相似 知识要点：知识要点： 1、两个图形相似，其中一个图形可以看作把另一个图形放大或缩小得到；2、相似多 边形对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的 比相等，那么这两个多边形相似相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为 1 时， 两个图形全等 典例例题分析：典例例题分析：例 1 如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果，那么称线段ACBC ABACAB 被点 C 黄金分割，AC 与 AB 的比叫做黄金比，其比值是（ ） A BCD51 235 251 235 2分析：根据比例的性质有 AC2=ABBC，而 BC=AB-AC，故 AC2=AB（AB-AC） ，此 时把等式看作关于 AC 的一元二次方程，通过解此方程即可找出 AC 与 AB 的比例关系 解：AC：AB=BC：AC，AC2=ABBC 又BC=AB-AC，AC2=AB（AB-AC） ，即 AC2+ABAC-AB2=0解之得（负数舍去） ，ABAC251215 ABAC说明：黄金比值是一个重要的概念，在日常生活中有广泛的实用价值，同学们应牢 记 例 2（2007宁波）如图 2，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB=4 （1）求 AD 的长；（2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似 比分析：（1）根据图形相似对应边的比相等性质列比例式解答即可；（2）求图形的相 似比即求多边形对应边之比解：（1）由已知，得 MN=AB，MD=AD=BC1 21 2矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，BCDMMN ABAD2=AB2， 由 AB=4 得，AD=41 22（2）矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为DM2 AB2说明：本题主要考查利用相似多边形对应边的比相等性质求边长或相似比等问题专题训练（一）：专题训练（一）：1在下列四组图形中，不相似的有 （ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组ABC图 1图 22若如图 4 所示的两个四边形相似，则的度数是（ ） ABCD87o60o75o120o3将一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点的连线对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相 似， 则原矩形的长和宽的比应为（ ） A2：1 B C D1：11:31:2专题二：相似三角形的判定专题二：相似三角形的判定 知识要点：知识要点：1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个 三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4、如果一 个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 典例例题分析：典例例题分析： 例 1 如图 1，先把一矩形 ABCD 纸片对折，设折痕为 MN，再把 B 点叠在折痕线上， 得到ABE过 B 点折纸片使 D 点叠在直线 AD 上，得折痕 PQ （1）求证：PBEQAB；（2）你认为PBE 和BAE 相似吗？如果相似给出证明， 若不相似请说明理由分析：（1）根据折叠性质知PBE、QAB 和ABE 都是直角三角形，利用直角三 角形两锐角互余性质，从角度入手可证PBEQAB；（2）由EPB=EBA=90，可 考虑证明两直角夹边的比是否相等，来判断PBE 和BAE 是否相似 解：（1）证明：PBE+ABQ=90，PBE+PEB=90，ABQ=PEB 又BPE=AQB=90，PBEQAB60o75o60o138o图 4ADCBNMADCBQEPN图 1（2）PBEQAB，BQPE ABBEBQ=PB，即PBPE ABBEPBAB PEBE又EPB=EBA=90，PBEBAE 说明：根据题目提供条件，正确选择相似三角形的判定方法是解题难点通常是已知 一组对应角（或公共角）相等，再找一组角相等即可；如果另一组对应角无法找到，应考 虑找相等角（公共角）的夹边的比相等若已知条件中未告诉任何有关角的关系问题，则 应从三边的比考虑相似 例 2 如图 2，在ABC 和DEF 中，A=D=90，AB=DE=3，AC=2DF=4 （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过 A，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角 形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论分析：（1）根据已知条件可用“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似”进行判断；（2）可从角度入手对两个三角形进行分 割 解：（1）不相似在 RtBAC 中，A=90，AB=3，AC=4； 在 RtEDF 中，D=90，DE=3，DF=2，12ABAC DEDF，ABAC DEDFRtBAC 与 RtEDF 不相似 （2）能作如图所示的辅助线进行分割作法：作BAM= E，交 BC 于 M；作NDE=B，交 EF 于 N 由作法和已知条件可知BAMDENAMC=BAM+B，FND=E=NDE，AMC=FNDFDN=90-NDE，C=90-B， FDN=C，AMCFND说明：本题分割相似图形应紧扣相似三角形的判定方法，考虑两个直角三角形的两锐 角互余的关系，应从角度入手进行动手分割操作专题训练（二）：专题训练（二）： 1在ABC 中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要ABC 使与DEF 相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即 可） 2如图 3，已知ABC 中，D 是 AC 上一点，以 AD 为一边，作ADE，使ADE 的另一边与 AB 相交于点 E，且ADE ABC，其中 AD 的对应边为 AB （要求：尺规作图，保留作图痕迹，ABMCDNFE图 2ABCD图 3不写作法和证明） 3在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC=2，点 D 在 BC 所在的直线上运动，作ADE=45，如图 4，若点 D 在线段 BC 上运动，DE 交 AC 于 E求证：ABD DCE；当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长专题三：相似三角形的性质专题三：相似三角形的性质 知识梳理：知识梳理：1、相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于相似比；相似三角形周 长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；2、相似三角形面积的比等于相似比 的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方 典例例题分析：典例例题分析： 例如图 1，在ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点 E（与点 A，C 不重合）在 AC 边上，EFAB 交 BC 于 F 点 （1）当ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长； （2）当ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长 分析：（分析：（1）应把三角形与四边形面积关系转换成两个相似三角形对应边关系；（）应把三角形与四边形面积关系转换成两个相似三角形对应边关系；（2） 可通过设可通过设 CE 为为 x，根据周长相等列方程解答，根据周长相等列方程解答解：（1）ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等，SECF:SACB1:2又EFAB ECFACB，且 AC4，CE,21)(2 CACE SSACBECF22（2）设 CE 的长为 x，ECFACB， ， CF=CBCF CACEx43由ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等，得=xEFx43EFxx)433(5)4(解得， CE 的长为724x724说明：解答此类问题应充分应用相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的 比等于相似比的平方的性质涉及相似图形面积问题，往往转换成对应边的比来解答 专题训练（三）：专题训练（三）：1如图 1，若 A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使PQRABC，则点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A甲 B乙 C丙 D丁图 1CEFAB45oABDCE图 42圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图 2所示） 已知桌面的直径米，桌面距离地面 1 米若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影1.2 部分的面积为（ ） 平方米平方米0.360.81 平方米平方米23.24 3如图 3，点 D，E，F 分别是ABC 三边上的中点若ABC 的面积为 12，则DEF 的面积为 专题四：相似三角形应用举例专题四：相似三角形应用举例 知识要点：知识要点：1、利用同一时刻不同物体的高度与影长的比相等的关系，测量物体的高度；2、结合实际利用相似三角形对应角相等、对应边相等性质选择合适的测量方法和工具，测 量物体高度 典例例题分析：典例例题分析： 例 1 如图 1，小华在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔的 距离 EB=20 米，镜子与小华的距离 ED=2 米时，小华刚好从镜 子中看到铁塔顶端点 A已知小华的眼睛距地面的高度 CD=1.5 米，则铁塔 AB 的高度是米分析：结合光的反射原理（CED=AEB） ，根据相似三 角形的对应边的比相等来解答解：如图，在 RtCED 和 RtAEB 中，CDE=ABE=90，CED=AEB，RtCEDRt AEB，即，解得 AB=15（米） BEDE ABCD2025 . 1AB 则铁塔的高度是 15 米AB 说明：本题利用平面镜求物体高，充分依据物理知识“反射角等于入射角”及人与物体 都垂直地面，得到三角形相似，由三角形相似对应边的比相等求物体高度 例 2（2007南充）如图 2 是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面 l 上 两个半径均为 2 米的半圆与半径为 4 米的A 构成点 B、C 分别是两个半圆的圆心，A 分别与两个半圆相切于点 E、F，BC 长为 8 米求 EF 的长解：A 分别与两个半圆相切于点 E、F，点 A、B、C 分别是三个圆的圆心，AEAF4，BECF2，ABAC6 在AEF 和ABC 中，EAFBAC，42 63AEAF ABAC AEFABC ABCFED图 3图 1ABCDE图 1AEF l BC图 2图 2故 则 EF说明：本题解题过程既用到相EFAE BCABAEBCAB216833似三角形的判定方法，又用到相似三角形的性质解此类问题，一般先根据条件判定两三 角形相似，再由相似三角形的对应边的比相等使问题获解专题训练（四）：专题训练（四）： 1在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个 三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图 3 所示飞机从台湾 直飞上海的距离约为 1286 千米，那么飞机从台湾绕道香港再到 上海的飞行距离约为 千米 2赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图 4，他在某一 时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米，同时