同角三角函数的关系式及诱导公式同角三角函数的关系式及诱导公式一、基础知识（一）（一）同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式：平方关系；商式关系；倒数关系1cossin22tancossin。1cottan（二）（二）正弦余弦的诱导公式正弦余弦的诱导公式：与 的三角函数关2k)(Zk 系是“奇变偶不变，符号看象限” 。注注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 o0角的三角函数。o902、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（要注意题设中角的范围，用三角函数的定义求解会更方便） ；b) 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式。二、题型剖析1、化简求值例 1：化简（1） （） )cos() 1sin() 1cos(sin kkkkZk （2）4266sinsincossin1 解：（1）当 k 为偶数时，原式=1；当 k 为奇数时 cossin)cos(sin 同理可得，原式=1，故当时，原式=-1。Zk （2）原式=3222222222sin1sincossin3cossincossin1 【思维点拨思维点拨】 （1 1）分清）分清 k k 的奇偶，决定函数值符号是关键；的奇偶，决定函数值符号是关键；（2 2）平方降次是化简的重要手段之一。）平方降次是化简的重要手段之一。练习：（变式 2）znnn 414cos414sin化简解：原式= 4cos4sinnn（1）当 n 为奇数时，设，zkkn12则原式= 42cos42sinkk=。04cos4cos4cos4sin （2）当 n 为偶数时，设，同理可得原式=0。zkkn 2例 2、 （P51）已知 1cos,0,32 cossin 2costan且求的值解思维点拨：先利用诱导公式进行化简，再求值是解题的一般思维。例 3(P52)1sin,sin()13 已知求si n(2 + )值2、证明题例 4）证明： cos1sin sin1cos cossin1sincos2 法一：右边= cos1sin1cossin1sincos cos1sin1sinsincoscos22 cossin2cos2sin2cossin1cossin1sincos2 cossincossin12cossin1sincos222右边 2cossin1cossin1sincos2法二：要证等式即证 cos1sin1cossin1sincos cos1sin sin1cos cossin1sincos2 只需证 2cossin1cos1sin12即证cossin2cos2sin2cossin1cossin2cos2sin2222即显然成立22cossin1所以原等式成立。思维点拨：证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）（2）两边向中间证（3）分析法练习（变式 4）求证： sintansintan sintansintan证明：左边= cos1sin cossinsinsin2右边= cos1sin cos1sincos1cos1 sincos1 sincossinsin2所以原等式成立思维点拨：“切割化弦” ， “化异为同”3、条件求值的题型例 5、已知，求2tan（1）的值； cos3sin5cos2sin4 （2）的值。2cossin3sin52解：（1）法一：由已知 sin=2cos，原式=；136法二：，cos0，原式=。2tan3tan52tan4 136（2）=2cossin3sin522222cossincos2cossin3sin3 =1tan2tan3tan322 516思维点拨：关于的齐次式的一般处理方法。cos,sin思考:已知，求的值。, 0,51cossincot解：由已知得，所以是方程51cossin2512cossincos,sin的两根，02512 512xx53,5421xx而43cot,53cos,54sin, 0思维点拨：常用关系，则在解题中的作tcossin21cossin2t用。4、三角应用问题三：课堂小结1、同角三角函数关系式，诱导公式。2、解决三角函数问题一般要做到以下几点：（1）考察角的变化（2）切割化弦（3）平方降次（4）化同为异3、注意公式的变形使用，要避免负开方运算，谨慎确定符号。4、，三个式子中，已知其中一个式cossincossincossin子的值，求出其余两个式子的值。四、作业P