用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解江苏省南菁高级中学江苏省南菁高级中学 花敏花敏 教学目标：教学目标： 1、知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解。 2、能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；培养学生利用信息技术和计算工具的能力。 3、情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。 教学重点：教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。 教学难点：教学难点：方程近似解所在初始区间的确定。教学过程：教学过程： 一、一、 【游戏引入游戏引入】 同学们，现在是幸运 52 现场直播，下面进行一个猜数字游戏：给定 1100 这 100 个自然数，计算机随机出一个 1100 之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个 数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了” 。 【讨论讨论】 1、任给一个 1100 的整数，我都可以在 7 次以内猜出，你们能做到吗？ 2、为什么采用正确的方法，7 次以内一定可以猜中？ （第一次猜 50，若“大了” ，则猜 1 与 50 中间的整数 25，依次类推，由于每猜一次， 就排除一半，范围不断缩小，7 次以内一定可以猜中。 ） 上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二， 如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。这种思想就是二分法。 设计意图：设计意图： 通过做游戏，来提高学生的学习兴趣，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。【感受领悟感受领悟】 在刚才的游戏中，我们体会到了二分法的用处，你还能列举一些二分法在实际生活 中的应用吗？ 如：翻字典查英语单词(类似二分法)；输电线路的故障检测（如：一条电缆上 有 15 个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？） 设计意图：设计意图： 通过列举实例，让学生进一步领悟二分法的思想，并感受到数学与生活的密切联系。二、 【揭示课题揭示课题】我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。如： 类似的方程，我们现在不会解。但是，学习了二分法，我们就可以来3lgxx求它的近似解。下面让我们一起来体验一下如何用二分法来求方程的近似解。 三、 【实践探究实践探究】例例 1 1、判断方程判断方程在区间（在区间（0 0，1 1）内是否有解？若有，有几解？）内是否有解？若有，有几解？0133 xx（利用两个端点的函数值异号得到在（0，1）内至少有一解；解的0133 xx个数就是函数与图象交点的个数，作出两者图象，知只有一解。3xy xy31） 这个实数解大概是多少？你能利用二分法来解决这个问题吗？这个实数解大概是多少？你能利用二分法来解决这个问题吗？ 让学生展示自己的解决策略。 （师生共同得出前三次，下面请学生再操作 5 步，2 人 一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程） 借助几何画板来显示这个实数解的范围逐步缩小的过程。记，设方程的实数解为，(0,1)13)(3xxxf0133 xx0x0x第一次：(0,0.5)0)5 . 0(, 0)0(ff0x第二次：(0.25,0.5)0)5 . 0(, 0)25. 0(ff0x第三次：(0.25,0.375)0)375. 0(, 0)25. 0(ff0x第四次：(0.3125,0.375)0)375. 0(, 0)3125. 0(ff0x第五次：(0.3125,0.34375)0)34375. 0(, 0)3125. 0(ff0x第六次：(0.3125,0.328125)0)328125. 0(, 0)3125. 0(ff0x第七次：(0.3203125,0.328125)0)328125. 0(, 0)3203125. 0(ff0x第八次： (0.3203125 ,0.32421875)0)32421875. 0(, 0)3203125. 0(ff0x【讨论讨论】 若精确到 0.1，算几次就可以了？ 若精确到 0.01 呢？ （第 5 次，两个端点精确到 0.1 的近似值都为 0.3，故0.3；0x 第 8 次，两个端点精确到 0.01 的近似值都为 0.32，故0.32；）0x 设计意图：设计意图： 第题，学生容易联想到用上节课函数与方程的知识解决，目的在于分解难点，为 第题作铺垫；第题初始区间已给定，目的在于让学生在动手操作中来体验用二 分法求方程近似解的具体过程，在讨论中自我感悟运用二分法解题到底何时结束？ 例例 2 2、利用计算器，求方程、利用计算器，求方程的近似解（精确到的近似解（精确到 0.10.1）3lgxx设计意图：设计意图： 1、例 1 是初始区间已给定，而例 2 是初始区间未给定，需要自己找，这是一个质的变化。通过学生自主探究，来体会、归纳出确定初始区间的一般方法：估算或利用 图象（函数与方程的思想） 。 （估算：由方程有意义及左右两边相等，可知(0,3)；0x作图：考察函数与图象交点的横坐标,可知（2，3） ）xylgxy 30x2、把学生分成两组，分别就初始区间为（0，3）和（2，3）进行求解。通过学生亲 自实践，感知初始区间选择的不同对结果无影响，只是计算次数多少而已。 【总结提炼总结提炼】 在例 1、例 2 的基础上，引导学生归纳二分法求解方程近似解的基本步骤。 1、利用估算或图象的方法，确定初始区间,使得),ba上0)()(bfaf（且）上上上上上),)(baxf2、求区间的中点),ba上 21bax3、计算)(1xf（1） 若=0,则为方程的根)(1xf1x（2） 若，则方程的根0)()(1xfaf0x),1xa上（3） 若，则方程的根0)()(1xfbf0x),1bx上4、重复上述步骤，可得方程的解总位于区间，直至和按指定精确度),(nbnananb取近似值相等时，那么这个近似值就是方程的一个近似解 【巩固反馈巩固反馈】 下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）x y O （A） x y O （B） x y O （C） x y O （D） 设计意图：设计意图： 使学生明确初始区间并非任意选取，必须满足，加深学生对),ba上0)()(bfaf用二分法求方程近似解原理的理解。 【感悟交流感悟交流】 引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问。 【课后作业课后作业】 1、例用计算器，求下列方程的近似解： xxxx310)2(;12lg1 上上思考：由第(2)题及课本例 2，你能得到什么结论？78P2、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。 这是一条 10km 长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个 点要爬一次电线杆子，10km 长，大约有 200 多根电线杆子。请你帮他设计一个维 修方案来迅速查出故障所在？ 【教学后记教学后记】 这节课的目标设置、教学实施体现了新课程的理念：倡导自主探索、动手实践、 合作交流的学习方式。开始通过游戏的引入，充分调动了学生的积极性，让他们在 玩的过程中来体验二分法的思想和作用。再通过师生共同列举二分法在实际生活中 的应用，进一步加深学生对二分法这一思想的体验，为如何运用它来求方程的近似 解作铺垫，实践证明学生很容易想到取初始区间左右端点的中点，来逐步缩小初始 区间，达到逼近方程的近似解的目的。 这节课的难点，我认为主要有以下几点：1 1、利用二分法求方程的近似解，算到利用二分法求方程的近似解，算到 何时结束？何时结束？因此，我在例 1 中共计算了 8 步，然后师生共同探究：若精确到 0.1， 应算到第几步？我上课之前预测：学生会在算到第 4 步，还是第 5 步上有分歧。果 然如此，有相当多的同学认为只要算到第 4 步就可以了。这时，我并不急于抛出答 案，而是组织学生观察讨论（教师一旁适当引导） 。通过讨论得：若算到第 4 步，如 解是 0.365(0.3125,0.375),0.365 精确到 0.1 是 0.4，但如果解是 0.323(0.3125,0.375)，0.323 精确到 0.1 是 0.3，故无法确定。可是若算到第 5 步，任意 x(0.3125,0.34375)，x 精确到 0.1 都是 0.3，因此应该算到第 5 步。再 通过对精确到 0.01，应算到第几步的讨论，让学生自己发现、归纳出一般规律。 2 2、初始区间如何确定？、初始区间如何确定？我在例 1 中给出初始区间，而例 2 没有给出，目的在于让学 生自己感悟出：用二分法求方程的近似解，关键得先确定初始区间。而例 2，由于 出现，学生很容易想到 x0,从而采用估算的方法来确定初始区间。在教学过xlg程中，还有学生提出：例 2 若用估算的方法得到在(0,3)上有解，但究竟有几个解呢？ 学生展开讨论，不仅得出：可利用函数与方程的思想，把方程解的个数转化为两个 函数图象交点的个数加以解决；而且有的学生还提出：由于函数 是增函数，所以只可能有一个解。 （很好，活学活用）同样，3lg)(xxxf对于作业上的两题也可以用此方法来判断出方程解的个数。 另外，为了帮助学生更形象地感知运用二分法来不断缩小解所在的区间，从而逼近近似解的这一过程，我运用了几何画板，通过动态演示来达到辅助教学的目的。当然，在教学过程中也发现了一些问题，如：学生在归纳、探究中明显体现出 能力不是很强，所以引导实在是一件长远的工作，执教者应当根据学生能力的层次 设计教案，设计长远的循序渐进的教学系统。