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教学教学设计设计幂函数幂函数无锡市玉祁中学无锡市玉祁中学 江文友江文友 (一)教材分析(一)教材分析 本节课选自新课程苏教版必修 1 第二章第 4 节,幂函数是继指数函数和对数函数后研究的 又一基本函数。通过本节课的学习,学生将建立幂函数这一函数模型,并能用系统的眼光看待等以前已经接触的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、231,yxyxyxyx,奇偶性、单调性研究一个函数的意识,因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综 合检测。 (二)学情分析(二)学情分析 学生通过对指数函数和对数函数的学习,已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法,即 由几个特殊的函数的图象,归纳出此类函数的一般的性质这一方法,为学习本节课打下了基础。(三)设计思想(三)设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化,因此要学生在一节课中象指数函 数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的,因此本人采用了从特殊到一般、再 从一般到特殊的方法安排教学:先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质,然后通过几何 画板软件动态演示幂函数的图象(在第一象限)随幂指数连续变化情况,让学生归纳幂函数性 质随幂指数改变的变化情况(其他象限内的情况,可结合奇偶性得到) ,最后再通过改变画板中 的幂函数的幂指数(用参数的方法) ,让学生预测将要出现什么样的图象,让学生检测自己探索 成果的有效性,体验成功,享受学习的乐趣。 (四)教学目标(四)教学目标1.知识目标(1)了解幂函数的概念; (2)会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质;(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。2.能力目标在探究幂函数性质的活动中,培养学生观察和归纳能力,培养学生数形结合的意识和思想。3. 情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动,培养学生合作、交流、探究的意识品质,同时让学生在探索、解决问题过程中,获得学习的成就感。(五)教学重点(五)教学重点常见的幂函数的图象和性质 (六)教学难点(六)教学难点幂函数的图象和性质的总结 (七)教学用具(七)教学用具多媒体平台,几何画板课件 (八)教学过程(八)教学过程【创设情境创设情境】 (多媒体投影) 问题 1.某人买每千克 1 元的蔬菜,则其需付的钱数 p(元)和购买的蔬菜的量(千克)w 之间 的有何关系? 2.正方形的面积 S 和它的边长 a 之间有何关系? 3.正方体的边长 V 和它的边长 a 之间有何关系? 4.问题 2 中,边长 a 是 S 的函数吗? 5.问题 3 中,边长 a 是 V 的函数吗? 6.某人在 t 秒内行进了 1 千米,那么他的行进的平均速度 v 为多少? 学生很容易回答出这六个关系式(都是函数关系式)分别是:11 23132,pw Sa VaaSaVvt【提出问题提出问题 启发建构启发建构】 问:这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗? 这时,学生观察可能有些困难,老师提示,可以用表示自变量,用表示函数值,上述xy函数式变成:,便于看出特征11 23132,yx yxyxyxyxyx它们都是形如的函数。 (投影幂函数的定义。 )yx揭示课题:今天这节课,我们就来研究:幂函数 深化认知深化认知 (1)下列函数是幂函数的是:A. B. C. D.2yx22yx1yx2xy (2)幂函数与指数函数有什么联系和区别? 引导引导:有了幂函数的概念后,我们接下来做什么?研究幂函数的性质通过什么方式来研究?画函数的图象为使作图高效,我们可先做点什么分析函数的定义域、奇偶性 (投影)例 1.写出下列函数的定义域,并指出奇偶性:121 33243 252(1)(2)(3)(4)(5)(6)yxyxyxyxyxyx探究:探究:怎样便于看出幂函数的定义域?(写成根式的形式) 观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响? 结论结论 1:只要幂函数的定义域是关于原点对称的(或者说定义域中有负数) ,则其一定具有 奇偶性。 【动手实践动手实践】 请同学们画出下列常见的幂函数的图象,并根据图象将发现的性质填入表格(投影显示表格)11 231232,yx yxyxyxyxyxyxyx2yx3yx1 2yx1 3yx1yx2yx定义域值域奇偶性单调性特殊点教师在这期间予以巡视指导,稍后,对学生感觉可能比较难画而不能肯定的四个函数、和3yx1 2yx1 3yx的图象,利用几何画板现场画出。为了不让学生感觉太2yx突然,应该使用画板里的追踪动点轨迹的方式作图,近似于描 点作图,这样可以让学生从中感受幂函数的值随变化而变化x的情况。然后再作出完整的图象。 (图 1 是在作图象的过程中的情况) 2yx师生共同完成上表。 图 1 观察上表,组织学生讨论总结出这几个函数共同的性质:,yx2yx3yx1 2yx1 3yx(1)图象都过点(0,0)和(1,1) ; (2)在0,)上是增函数。,1yx2yx(1)图象都过点(1,1) ; (2)在(0,)上是减函数。 图 2 【类比联想类比联想 拓展探究拓展探究】 我们研究的几个常见的幂函数的性质,是否也适合其他的幂函数,一般的幂函数怎样去研 究它的性质呢?让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质。 诱思诱思:哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有 幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断? 结论结论 2:第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、第三 象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断(结合结论结论 1) 。老师用几何画板画出函数在第一象限内的图象,改变 的值,组织学生观察、分yx析所得的函数图象,在动态的变化过程中,让学生了解幂函数的性质里本质的、共性的东西。 (如图 2) 。师生共同得出: 结论结论 3:幂函数的基本特征可以概括为:642-2-4-6-55f x = x = 1.83(1)0 时,图象过(0,0) , (1,1) ,在第一象限内图象是上升的; 此处提醒同学们注意 1 和 01 时图象的区别(可以概括为“快增”和“慢增” ) (2)0 时,图象过(1,1) ,在第一象限内图象是下降的,与坐标轴无交点; (3)其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。 【个例检验个例检验】 老师通过几何画板利用参数法作出完整的幂函数 的图象,检验刚才总结得到幂函数的性质的正确性。 然后,在画出图象之前,让学生预测将出现的 图象的形状、区域,来检测同学对幂函数性质的 了解程度,体验学习带来的成就感,成功带来的愉悦。 【目标检测目标检测】请同学上黑板作出函数 ,的草图,并指出单调区间;组织同学评议。3 5yx4 5yx例 2.比较下列各组数的大小:(1) (2) 0.10.11.1,1.20.20.20.24,0.25【变式训练变式训练 提高能力提高能力】比较0.30.30.20.2,0.3,0.3小结:指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性; 底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。 【总结反思总结反思 深化认识深化认识】先请同学说说本节课学到了什么知识和思想,然后师生共同总结得到共识:要想系统认识幂函 数的性质,必须从它的图象着手,重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征,然后根据奇偶性 作出其它象限内的图象,因而对函数的定义域和奇偶性的分析很重要。 【课后巩固作业课后巩固作业】 课本 P73 1.2.3.4【板书设计板书设计】幂函数投影屏幕提出问题 结论 1 结论 2 结论 3问题解决 例题 1. 例题 2. 变式总结反思4321-1-2-3-4-6-4-2246f x = x3 = 2.00附:幂函数教学流程图开 始 情景引入 构建幂函数定义 辨析 例 1 解答板书反思讨论 实践作图 电脑演示作图 探究性质 探究一般性质电脑动态作图形成结论检验成果电脑验证 同学板演 例 2 板书解答 变式 总结规律 小结 作业布置
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