第二章第二章 2.3 2.3.1A 级 基础巩固一、选择题1一条直线和平面所成角为 ，那么 的取值范围是( B )导学号 09024485A(0，90) B0，90C(0，90 D0，180解析 由线面角的定义知 B 正确2在正方体 ABCDA1B1C1D1的六个面中，与 AA1垂直的平面的个数是( B )导学号 09024486A1 B2 C3 D6解析 仅有平面 AC 和平面 A1C1与直线 AA1垂直3如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( D )导学号 09024487A1 B2 C3 D4解析 PA平面 ABCD，PAAB，PAAD，PABC，PACD.Error!BC平面 PABBCPB由CD平面 PADCDPD.CD AD CD PA PA ADAPAB，PAD，PBC，PCD 都是直角三角形4直线 a 与平面 所成的角为 50，直线 ba，则直线 b 与平面 所成的角等于( B )导学号 09024488A40 B50 C90 D150解析 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知 b 与 所成的角也是 50.5给出下列三个命题：一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直其中正确的个数是( C )导学号 09024490A0 B1 C2 D3解析 中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；根据射影定义知正确故选 C6.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结论正确的是( D )导学号 09024491APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45解析 设 AB 长为 1，由 PA2AB 得 PA2，又 ABCDEF 是正六边形，所以 AD 长也为 2，又 PA平面 ABC，所以 PAAD，所以PAD 为直角三角形PAAD，PDA45，PD 与平面 ABC 所成的角为 45，故选 D二、填空题7已知ABC 所在平面外一点 P 到ABC 三顶点的距离都相等，则点 P 在平面 ABC内的射影是ABC 的_外心_(填“重心” 、 “外心” 、 “内心” 、 “垂心”)导学号 09024492解析 P 到ABC 三顶点的距离都相等，则点 P 在平面 ABC 内的射影到ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心8等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 内，若 AC 与 所成的角为 30，则斜边上的中线 CM 与 所成的角为_45_.导学号 09024493解析 如图，设 C 在平面 内的射影为 O 点，连结 AO，MO，则CAO30，CMO 就是 CM 与 所成的角设 ACBC1，则 AB，2CM，CO .2212sinCMO，COCM22CMO45.三、解答题9.如图，在三棱锥 ABCD 中，CACB，DADB.作 BECD，E 为垂足，作AHBE 于 H.求证：AH平面 BCD.导学号 09024494解析 取 AB 的中点 F，连接 CF、DF.CACB，DADB，CFAB，DFAB.CFDFF，AB平面 CDF.CD平面 CDF，ABCD.又 CDBE，ABBEB，CD平面 ABE.AH平面 ABE，CDAH.AHBE，BECDE，AH平面 BCD.10.如图在三棱锥 PABC 中，PAPBPC13，ABC90，AB8，BC6，M为 AC 的中点.导学号 09024495(1)求证：PM平面 ABC；(2)求直线 BP 与平面 ABC 所成的角的正切值解析 (1)PAPC，M 为 AC 的中点，PMAC.又ABC90，AB8，BC6，AMMCMB AC5.12在PMB 中，PB13，MB5.PM12.PC2MC213252PB2MB2PM2，PMMB.由可知 PM平面 ABC.(2)解：PM平面 ABC，MB 为 BP 在平面 ABC 内的射影，PBM 为 BP 与底面 ABC 所成的角在 RtPMB 中 tanPBM.PMMB125B 级 素养提升一、选择题1如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 A1C1上的点，则下列直线中一定与 CE垂直的是( B )导学号 09024496AACBBDCA1D1DA1A解析 BDAC，BDA1A，ACA1AA，BD平面 ACC1A1.又CE平面 ACC1A1，BDCE.2空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是( C )导学号 09024497A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交解析 取 BD 中点 O，连接 AO、CO，则 BDAO，BDCO，BD面 AOC，BDAC，又 BD、AC 异面，选 C3如图，三条相交于点 P 的线段 PA，PB，PC 两两垂直，P 在平面 ABC 外，PH平面 ABC 于 H，则垂足 H 是ABC 的( C )导学号 09024498A外心 B内心 C垂心 D重心解析 PCPA，PCPB，PAPBP，PC平面 PAB.又AB平面 PAB，ABPC.又ABPH，PHPCP，AB平面 PCH.又CH平面 PCH，ABCH.同理 BCAH，ACBH.H 为ABC 的垂心4如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( D )导学号 09024499ABD平面 CB1D1BAC1BDCAC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60解析 ADBC，BCB1为异面直线 AD 与 CB1所成的角又B1BC 为等腰直角三角形，故BCB145.即异面直线 AD 与 CB1所成的角为 45.二、填空题5已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PCBD，则平行四边形 ABCD一定是_菱形_.导学号 09024500解析 由于 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD.又 PCBD，且 PC平面 PAC，PA平面 PAC，PCPAP，所以 BD平面 PAC.又 AC平面 PAC，所以 BDAC.又四边形 ABCD 是平行四边形，所以四边形 ABCD 是菱形6如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB1，BCa(a0)，PA平面 AC，且PA1，若 BC 边上存在点 Q，使得 PQQD，则 a 的取值范围是_2，)_.导学号 09024501解析 因为 PA平面 AC，QD平面 AC，PAQD.又PQQD，PAPQP，QD平面 PAQ，所以 AQQD.当 02 时，以 AD 为直径的圆与 BC 相交于点 Q1、Q2，此时AQ1DAQ2D90，故 BC 边上存在两点 Q(即 Q1与 Q2)，使 PQQD.C 级 能力拔高1如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F是棱 CD 上的动点试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F.导学号 09024502解析 当 F 为 CD 的中点时，D1E平面 AB1F.连接 A1B、CD1，则 A1BAB1，A1D1AB1，又 A1D1A1BA1，AB1面 A1BCD1，又 D1E面 A1BCD1，AB1D1E.又 DD1平面 BD，AFDD1.又 AFDE，AF平面 D1DE，AFD1E.D1E平面 AB1E.即当点 F 是 CD 的中点时，D1E平面 AB1F. 2如图，在锥体 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且DAB60，PAPD，E，F 分别是 BC，PC 的中点求证：AD平面 DEF.导学号 09024503证明 取 AD 的中点 G，连接 PG，BG.因为 PAPD，所以 ADPG.设菱形 ABCD 边长为 1.在ABG 中，因为GAB60，AG ，AB1，12所以AGB90，即 ADGB.又 PGGBG，所以 AD平面 PGB，从而 ADPB.因为 E，F 分别是 BC，PC 的中点，所以 EFPB，从而 ADEF.易证 DEGB，且 ADGB，所以 ADDE，因为 DEEFE，所以 AD平面 DEF.