A 级 基础达标演练(时间：40 分钟 满分：60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2012福州调研)若 x0，则 x 的最小值为( )4xA2 B3 C2 D42解析 x0，x 4.4x答案 D2已知 0x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为( )A. B. C. D.13123423解析 0x1，1x0.x(33x)3x(1x)32 .(x1x2)34当 x1x，即 x 时取等号12答案 B3把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )A4 B8 C16 D32解析 设截成的两段铁丝长分别为 x,16x,16x0，则围成的两个正方形面积之和为 S228，当且仅当 ，即 x8 时，等(x4)(16x4)(x416x4)22x416x4号成立故两个正方形面积之和的最小值为 8.答案 B4(2012合肥模拟)若正实数 a，b 满足 ab1，则( )A. 有最大值 4 Bab 有最小值1a1b14C.有最大值 Da2b2有最小值ab222解析 由基本不等式，得 ab，所以 ab ，故 B 错；a2b22ab22ab214 4，故 A 错；由基本不等式得 ，即1a1babab1aba b2ab212 ，故 C 正确；a2b2(ab)22ab12ab12 ，故 D 错ab21412答案 C5(2011重庆)已知 a0，b0，ab2，则 y 的最小值是( )1a4bA. B4 C. D57292解析 依题意得 (ab) ，当1a4b12(1a4b)125(ba4ab)12(52 ba4ab)92且仅当Error!，即 a ，23b 时取等号，即 的最小值是 ，选 C.431a4b92答案 C二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6若 x1，则 x的最小值为_4x1解析 xx11215，等号当且仅当 x14x14x1x14x1，即 x3 时成立4x1答案 57函数 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny10(mn0)上，则 的最小值为_1m1n解析 ya1x恒过点 A(1,1)，又A 在直线上，mn1.而 2 224，当且仅当 mn 时，1m1nmnmmnnnmmn12取“” ， 的最小值为 4.1m1n答案 48(2011浙江)若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值为_解析 由 x2y2xy1，得(xy)2xy1，即 xy(xy)21，所以 (xy)21，xy2434故xy，2 332 33当 xy 时“”成立，所以 xy 的最大值为.2 33答案 2 33三、解答题(共 23 分)9(11 分)已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值解 x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2，16xy8，xy64.xy故 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8yxy，得： 1，2y8xxy(xy)1(xy)(2y8x)1010818.2xy8yx故 xy 的最小值为 18.10(12 分)(2011丽水模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)购地总费用建筑总面积解 (1)依题意得 y(56048x)2 160 10 0002 000x56048x(x10，xN)；10 800x(2)x0，48x21 440(元)，10 800x48 10 800当且仅当 48x，即 x15 时取到“” ，10 800x此时，平均综合费用的最小值为 5601 4402 000(元)所以，当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000 元B 级 综合创新备选(时间：30 分钟 满分：40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2011皖南八校联考(二)已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则的最小值是( )ab2cdA0 B1 C2 D4解析 由题知 abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当 xy 时取等号ab2cdxy2xy2 xy2xy答案 D2(2011厦门模拟)若直线 axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则 的最小值为( )1a1bA. B. C. D. 2142322322解析 圆的直径是 4，说明直线过圆心(1,2)，故 ab1， 121a1b(12ab) ，当且仅当 ，即 a2(1)，b2时取等(1a1b)32baa2b322baa2b22号答案 C二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)3(2011湖南)x，yR，且 xy0，则的最小值为_(x21y2)(1x24y2)解析 144x2y21429，当且仅(x21y2)(1x24y2)1x2y24x2y21x2y2当 4x2y2时等号成立，即|xy|时等号成立1x2y222答案 94(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)的图象交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_2x解析 假设直线与函数 f(x) 的图象在第一象限内的交点为 P，在第三象限内2x的交点为 Q，由题意知线段 PQ 的长为 OP 长的 2 倍假设 P 点的坐标为，则|PQ|2|OP|24.当且仅当 x ，即(x0，2x0)x2 04x2 02 04x2 0x0时，取“”号2答案 4三、解答题(共 22 分)5(10 分)已知 a，b0，求证：.ab2ba24ab证明 2 2 0，ab2ba2ab2ba21abab20，ab(ab)224.(ab2ba2)1abab.当且仅当Error!取等号，ab2ba24ab即 ab 时，不等式等号成立6(12 分)(2011洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为 S 平方米 (1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值解 (1)由题图形知，3a6x，a.x63则总面积 Sa2a(1 800x4)(1 800x6)a(5 400x16)x63(5 400x16)1 832，(10 800x16x3)即 S1 832(x0)(10 800x16x3)(2)由 S1 832，(10 800x16x3)得 S1 8322 10 800x16x31 83222401 352(平方米)当且仅当，此时，x45. 10 800 x16x 3