题型五 圆的综合题针对演练针对演练1. 如图，AB 是O 的弦，AB4，过圆心 O 的直线垂直 AB 于点 D，交O 于点 C 和点 E，连接 AC、BC、OB，cosACB ，1 3延长 OE 到点 F，使 EF2OE.(1)求证：BOEACB; (2)求O 的半径；(3)求证：BF 是O 的切线第 1 题图2. 如图，AB 为O 的直径，点 C 为圆外一点，连接 AC、 BC，分别与O 相交于点 D、点 E，且，过点 D 作ADDEDFBC 于点 F，连接 BD、DE、AE.(1)求证：DF 是O 的切线；(2)试判断DEC 的形状，并说明理由；(3)若O 的半径为 5，AC12，求 sinEAB 的值第 2 题图3. (2016 长沙 9 分)如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求CDE 的度数；(2)求证：DF 是O 的切线；(3)若 AC2DE，求 tanABD 的值5第 3 题图4. (2016 德州 10 分)如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC 于点 D，过点 E 作直线 lBC.(1)判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BEEF; (3)在(2)的条件下，若 DE4，DF3，求 AF 的长第 4 题图5. (2015 永州)如图，已知ABC 内接于O，且 ABAC，直径AD 交 BC 于点 E，F 是 OE 上的一点，使 CFBD.(1)求证：BECE；(2)试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由；(3)若 BC8，AD10，求 CD 的长第 5 题图6. (2015 省卷 24，9 分)O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG，CP，PB.BC(1)如图，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；(2)如图，在 DG 上取一点 K，使 DKDP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；(3)如图，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点H，连接 PH，求证：PHAB.第 6 题图7. (2017 原创)如图，AB 切O 于点 B，AD 交O 于点 C 和点D，点 E 为的中点，连接 OE 交 CD 于点 F，连接 BE 交 CD 于DC点 G.(1)求证：ABAG；(2)若 DGDE，求证：GB2GCGA；(3)在(2)的条件下，若 tanD ，EG，求O 的半径3 410第 7 题图8. (2015 达州)在ABC 的外接圆O 中，ABC 的外角平分线CD 交O 于点 D，F 为上一点，且，连接 DF，并延ADAFBC长 DF 交 BA 的延长线于点 E.(1)判断 DB 与 DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证：BCDAFD；(3)若ACM120，O 的半径为 5，DC6，求 DE 的长第 8 题图9. 如图，AB 为O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切O 于点 C，CG 是O 的弦，CGAB，垂足为点 D.(1)求证：ACDABC；(2)求证：PCAABC；(3)过点 A 作 AEPC 交O 于点 E，交 CG 于点 F，连接 BE，若 sinP ，CF5，求 BE 的长3 5第 9 题图10. (2016 大庆 9 分)如图，在 RtABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH.(1)求证：MH 为O 的切线；(2)若 MH ，tanABC ，求O 的半径；3 23 4(3)在(2)的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于点D，AD 与O 相切于 N 点，过 N 点作 NQBC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度第 10 题图11. 如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，PACB，AD 为O 的直径，过 C 作 CGAD 交 AD 于E，交 AB 于 F，交O 于 G.(1)判断直线 PA 与O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2AFAB；(3)若O 的直径为 10，AC2，AB4，求AFG 的面55积第 11 题图12. (2016 鄂州 10 分)如图，在 RtABC 中，ACB90，AO是ABC 的角平分线，以 O 为圆心，OC 为半径作O.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD ，1 2求的值；AE AC(3)在(2)的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长第 12 题图【答案答案】1(1)证明：如解图，连接 OA，第 1 题解图CEAB，ADBD2，AEBEACEBCE，AOEBOE，又AOB2ACB，BOEACB；(2)解：cosACB ，1 3cosBOD ，13在 RtBOD 中，设 ODx，则 OB3x，OD2BD2OB2，x222(3x)2，解得 x，22OB3x，3 22即O 的半径为；3 22(3)证明：FE2OE，OF3OE，9 22 ，OB OF1 3 ，ODOB1 3，OB OFOD OBBOFDOB，OBFODB，OBFODB90，即 OBBF，OB 是O 的半径，BF 是O 的切线2(1)证明：如解图，连接 DO，交 AE 于点 G，则 DOBO，第 2 题解图ABDODB，ADDEABDEBD，ODBEBD，DOBC，ODFCFD，DFBC，CFD90，ODF90，即 ODDF，又OD 为O 的半径，DF 是O 的切线；(2)解：DEC 是等腰三角形，理由如下：AB 是O 的直径，ADBCDB90，又BDBD，ABDEBD，ABDCBD(ASA)，ADCD.，ADDEADDE，CDDE，DEC 是等腰三角形；(3)解：由(2)可知 AD AC6，1 2，ADDEODAE，ABDDAE，sinDAE.DG AD在 RtADB 中，sinABD，ADAB6 10，DG 66 10DG3.6，OGODDG1.4，在 RtAGO 中，sinEAB.OG OA1.4 57 253(1)解：AC 为O 的直径，ADC90，CDE90；(2 分)第 3 题解图(2)证明：如解图，连接 OD，CDE90，F 为 CE 中点，DF CECF，1 2FDCFCD.又ODOC，ODCOCD，ODCFDCOCDFCD，ODFOCF，ECAC，OCF90，ODF90，即 ODDF，又OD 为O 的半径，DF 为O 的切线；(5 分)(3)解：在ACD 与ECA 中，ADCACE90，EACCAD，ACDAEC，AC AEAD ACAC2ADAE，又AC2DE，520DE2(AEDE)AEAE5DE，AD4DE，在 RtACD 中，AC2AD2CD2，CD2DE，又在O 中，ABDACD，tanABDtanACD2. (9 分)AD CD4(1)解：直线 l 与O 相切理由如下：如解图，连接 OE、OB、OC.第 4 题解图AE 平分BAC，BAECAE，BECEBOECOE，又OBOC，OEBC，lBC，OEl，又OE 为O 的半径，直线 l 与O 相切；(3分)(2)证明：BF 平分ABC，ABFCBF，又CBECAEBAE，CBECBFBAEABF.又EBFCBECBF，EFBBAEABF，EBFEFB，BEEF；(6 分)(3)解：BEEF，DE4，DF3，BEEFDEDF7，BECEDBEBAE，DEBBEA，BEDAEB，即 ，DE BEBE AE4 77 AE解得 AE，(9 分)49 4AFAEEF7.(10 分)49 421 45(1)证明：AD 是O 的直径，ABDACD90，在 RtABD 和 RtACD 中，ABAC ADAD)RtABDRtACD(HL)，BADCAD，ABAC，AD 垂直平分 BC，BECE；(2)解：四边形 BFCD 是菱形理由如下：AD 是O 的直径，ABAC，ADBC，BECE，CFBD，FCEDBE，在BED 和CEF 中，DBEFCE BECE BEDCEF90)BEDCEF(ASA)，BDCF，四边形 BFCD 是平行四边形，BADCAD，BDCD，四边形 BFCD 是菱形；(3)解：AD 是O 的直径，ADBC，BECE，ECDCAE，AECDEC90，RtCDERtACE，DE CECE AECE2DEAE，设 DEx，则 AEADDE10x，BC8，CE BC4，1 242x(10x)，解得 x2 或 x8(舍去)，在 RtCED 中，CD2.CE2DE2422256(1)解：点 P 为的中点，PG 为O 的直径，BCBPPC，PGBC，CDBD，ODB90，D 为 OP 的中点，OD OP OB，1 21 2OBD30，AB 为O 的直径，ACB90，BAC60；(3 分)(2)证明：由(1)知，CDBD，在PDB 和KDC 中，BDCD BDPCDK DPDK)PDBKDC(SAS)，BPCK，BPOCKD，AOGBOP，AGBP，AGCK，OPOB，OBPBPO，又GOBP，GBPOCKD，AGCK，四边形 AGKC 是平行四边形；(6 分)(3)证明：CEPE，CDBD，DEPB，即 DHPB，GBPO，PBAG，DHAG，OAGOHD，GODH.OAOG，OAGG，ODHOHD，ODOH，在OBD 和OPH 中，ODOH DOBHOP OBOP)OBDOPH(SAS)，OHPODB90，PHAB. (9 分)7(1)证明：如解图，连接