典型例题一典型例题一例例 1 正六棱锥的底面周长为 24，侧面与底面所成角为，求：（1）棱锥的高；o60（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角 分析：分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知 量求未知量 解：解：正六棱锥的底面周长为 24 正六棱锥的底面边长为 4在正棱锥中，ABCDEFS - 取中点，连，BCHSHBCSH 是正六边形的中心OABCDEF连，则底面SOSOABCDEF BCOH 是侧面与底面所成二面角的平面角，即SHOo60SHO（1）在中，RtSOH3223BCOHo60SHO660tanoOHSO（2）同样在中，斜高，SOH342 OHSH（3）中，RtSOH6SO4 BCOB13222OBSOSB（4）底面，是侧棱与底面所成角，SOABCDEFSBO同样在中，SOB23tanBOSOSBO23arctanSBO说明：说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、 角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中比如：已知正四棱锥底面边长为，相邻两侧面所成二面角为，求正棱锥的高、斜高、侧棱ao120长正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，a23计算出高为，斜高为a21a22典型例题二典型例题二例例 2 如图所示，正四棱锥棱长均为 13，分别是，上的点，ABCDP-MNPABD 且85：NDBNMAPM （1）求证：直线平面；/MNPBC （2）求直线与底面所成角的正弦MNABCD 分析：分析：（1）要证明平面，只需证明/MNPBC 与平面内某一条直线平行为此连并延MNPBCAN长交于，连可考虑证明 （2）BCEPEPEMN / 若能证明，则即为直线与底面PEMN /PEOMN 所成的角解：解：（1）连并延长交于，再连ANBCEPE ，ADBE /NDBNANEN： 又，MAPMNDBN： ，MAPMANEN： ，MNPE / 又平面，平面，平面PEPBCMNPBC/MNPBC （2）设为底面中心，连，则平面又，则OPOEOPOABCDPEMN / 为直线与平面所成的角PEOMNABC由及，得，在中，85：NDBNADBE13AD865BEPBE，由余弦定理，得在中，o60PBE13PB865BE891PERtPOE，则2213PO891PE724sinPEPOPEP说明：说明：本题（2）若直接求与平面所成的角，计算就比较复杂，而平移为MNABCD 求与底面所成的角，计算就易得多可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法PE典型例题三典型例题三例例 3 斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面111-CBAABCABCo90C成角，点在底面的射影为的中点，o601BDBCcm2BC（1）求证；11BCAB （2）若为的二面角，求四棱锥的体积CBBA-1o3011-BCCBA分析：分析：证关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥11BCAB 的体积关键在于求出其底面积和高这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求 得 解：解：如图所示，（1）平面，DB1ABC底面，ACABCDBAC1，BCAC 平面，ACBCB11BCAC 在底面上的射影为的中点，侧棱与底面成角，1BABCDBCo60四边形是菱形，11BBCC，11BCCB 平面，1BC1ACB11ABBC （2）过作，连结CBBCE1AE平面，ACCCBB11是在平面上的射影，CEAECCBB11，BBAE1是二面角的平面角，AECCBBA-1o30AEC在中，在中，由可得RtBEC360sinoBCECRtACEo90ACE130tan3tanoAECECAC，233121 21CEACSACEACEBACEBBCBAVVV-11EBSEBSACEACE31 311EBEBSACE131131BBSACE223 3133 （体积单位） 3322 111-BCBABCCBAVV说明：说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又 涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终当遇到一线垂直于一 截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方 法结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化典型例题四典型例题四例例 4 如图，在三棱锥中，底面，、分别是ABCP-PAABCBCAC DG和的中点，为上一点，且，PAABEPBPBBE3121：ABAP（1）求证：平面；EGCDG （2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比CDEABCP- 分析：分析：由底面，可以判定平面平面，PAABCPABABC 且相交于，因为是的中点，且，所以ABGABACBC ，于是有平面，ABCG CGPABEGCG 若证平面，只需与平面中的另一条直EGCDGEGCDG 线垂直就可以了为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系平面把三棱锥分成两部分，显然这两部分具有相同的高线所以，CDEABCP-CG 只要找到和四边形的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了PDEABED 证明：证明：（1）平面，且平面PAABCPAPAB 平面平面，且相交于PABABCAB 在中，是边上的中线ABCBCAC CGAB 平面ABCG CGPAB 平面，EGPABCGEG 利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面CGPAB 在和中RtPABGEB设，则，xPA xAB2xPB3xBE33xBG22，61 322xxPBBG 61 233xxABBE，PBAGBEPABGEB，o90PABo90GEBPBEG PBDG/利用相似三角形的性质，得到o90GEBDGEG ，平面GCGDGIEGCDG解：（2）APBPDPESPDEsin21APBPBPASPABsin21，PAPD21PBPE3213sin21sin21 APBPEPDAPBPBPASSPDEPAB133131- PDEPABPDECPABCSCGSCGVV三棱锥三棱锥12-PDECPDECPABC VVV三棱锥三棱锥三棱锥截面分棱锥为两部分，三棱锥与四棱锥的体积CDEABCP-PDEC -ABEDC - 之比为 1：2典型例题五典型例题五例例 5 四棱锥，侧面是边长为 2 的正三角形且与底面垂直，底面ABCDP-PCD是面积为的菱形，为菱形的锐角 （1）求证：；（2）求二ABCD32ADCCDPA 面角的大小；（3）求棱锥的侧面积与体DABP-ABCDP- 积分析：分析：取中点，侧面底面，从而CDHPCDABCD 可利用三垂线定理转化为证明，线面垂直也CDPA CDHA 为二面角平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积DABP-可通过抓侧面三角形的特殊性来解决证明：证明：（1）取中点，连、，CDHPHAH 是等边三角形，PCDCDPH 面底面，底面，PCDABCDPHABCD 等边的边长为 2，PCD2CD菱形的边长为 2，又菱形的面积是，ABCD32，又是锐角，32sin22ADC23sinADCADC，是等边三角形，o60ADCADC，在平面上射影为，CDAH PAACHACDPA 解：解：（2），由（1），ABCD/HACD PACD ，AHAB PAAB 是二面角的平面角，PAHDABP-在中，RtPHA360sin2oAHPH，即二面角的大小为o45PHADABP-o45（3）由（2）在中，可得，RtPHA6PA在中，RtPAB6PA2AB10PB66221PABS在中，可得，PDA2 DAPD6PA215PADS在中，可得，PCD2 BCPC10PB215PBCS又正边长为 2，PCD32432PCDS，3156321526侧S，3PH233231 31PHSV菱形说明：说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往 往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等可以举一个类似的例子，四棱锥的ABCDV -高为 1，底面为菱形，侧面和侧面所成角为，且都垂直于底面，另两侧面VDAVDCo120与底面都成角，求棱锥的全面积这里由相交平面与都与底面垂直得到o45VDCVDA垂直于底面，利用底面，一方面落实了棱锥的高为，另一方面几VDVDABCD1VD 个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为22332典型例题六典型例题六例例 6 已知三棱锥中，、与底面所成角相等，ABCP-PAPBPCABC，为中点，点在上且截面，o90CABaPBABACDBCEPB/PCEAD（1）求与底面所成角；（2）求到平面AEABCPC 的距离EAD分析：分析：由、与底面所成角相等可得点PAPBPCP 在面上射影为的外心，由于是直角三ABCABCABC 角形，可以得到面，面可转化为PDABC/PCEAD ，是中点，找出到面的垂线落实DEPC /EPBEABC与面所成角到面的距离可从两方面得到，EAABCCEAD 一方面直接找到面的垂线，另一方面，用等积法可CEAD 求点到面的距离解：解：（1）、与底面成相等的角，设在面上射影为，PAPBPCABCPABCO 则有，PCOPBDPAO ，PAOPBOPCO 且，PCPBPAOCOBOA 是的外心OABC 是直角三角形，且是斜边的中点，ABCOBC 点和点重合，即面，ODPDABC 截面，过的平面与平面交于，/PCEADPCPBCEADED ，是中点，是中点，EDPC /DBCEPB 取中点，则，平面，BDFPDEF /EFABC 为与底面所成角EAFEAABC，aPBPAABaAE23且，aACABo90BACaBC2又，也是等腰直角三角形，aPCPBBPC，aBCPD22 21aEF42在中，RtAEF66 23 42sinaaEAF，即与平面所成角为66arcsinEAFAEABC66arcsin（2）方法一：平面，PDABCADPD 又，平面，BCAD ADPBCPBAD 由（1）是直角三角形，PBCo90BPCPCPB ，平面PCED EDPB PBEAD，aABPBaPE21即到平面的距离为PCEADa21方法二：，平面，PDAD BCAD ADPBC，又，DEAD aBCAD22 21aPBDE21 2