物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 ， No 6( 2 0 1 4 ) 0 6 6 7 0 1 从光晶格中释放的超冷玻色气体密度 密度 关联函数研究冰 李艳十 ( 湖南文理学院物理与电子科技学院， 常德 4 1 5 0 0 0 ) ( 2 0 1 3 年 1 0 月 1 8日 收到； 2 0 1 3 年 1 1 月1 3日收到修改稿 1 利用量子旋转场理论详细研究了从光晶格 中释放的超冷玻色气体的空间密度一 密度关联函数由于量子 旋转场理论充分考虑 了光晶格中冷原子气体的粒子数涨落和相位效应， 该理论能有效应用于具有强相互作用 的冷原子系统， 从而光晶格处于超流态到绝缘态逐渐过渡过程中的超冷原子气体的关联特性在这一理论体系 下都得到了很好的描述 结果表明： 随着超冷玻色气体逐渐从绝缘态 向超流态过渡， 其密度一 密度关联图样 中 连续对角斜线也逐渐 向分散的尖峰过渡， 理论结果与 目前实验观测到的结果符合 除此 以外， 上述密度 一 密度 关联 的结果中还包含了超冷原子系统量子耗散效应， 相关结论与 目前已有的理论和实验一致 关键词： 超冷玻色气体， 光晶格， 密度一 密度关联函数 P ACS ： 6 7 8 5 H j ， 0 3 7 5 K k ， 0 5 3 0 J p ， 6 7 1 0 B a DO h 1 0 7 4 9 8 a p s 6 3 0 6 6 7 0 1 l 引 言 近年来， 光晶格 中冷原子的实验研究获得 了很 大进展囚禁于光晶格 中的冷原子系统是一个非常 纯净的强关联量子多体系统具有强量子涨落的强 关联系统在关 于稀薄量子气体的实验研究 中发挥 着越来越重要的作用 1 】 光晶格实验系统提供了研 究某些基础物理理论的实验平台， 也是揭示量子多 体体系特性的有效途径 【0 ， 引 众所周知， 处于 光晶格 中的具有排 斥相互作 用 的超冷玻色气体体系 的基态可 以是超流态 f S U p e r fl u i d s t a t e ) ， 也可以是绝缘态 f mo t t i n s u l a t i n g s t a t e ) 4 ，引 当玻色子在晶格间的跳转效应 f h o p p i n g ) 被压制下来时， 系统会从超流态 f 典型的特征 是每个 晶格 中的粒子数涨落很大1经历相变至绝缘 态 ( 每个晶格中的粒子都是整数， 无粒子数涨落1 由于序参数的相位和粒子数是一对共轭量， 因此它 们满足不确定性原理 AC An一亢 ， 而玻色系统的本 征态可以是相位或者是粒子数算符的本征态相位 算符的本征态即是超流态 而粒子数算符的本征态 则是绝缘态 光 晶 格 中 的 超 冷 玻 色 气 体 可 以 用 B o s e Hu b b a r d 模 型描 述 ， 引 ，而 针对 这 一模 型 的理论 研究较多， 如粗粒化方案 ( c o a r s e g r a i n i n g ) 【 7 、 强耦 合展开理论 f s t r o n g c o u p l i n g e x p a n s i o n ) s ,9 】 、 中场 理论 【 1 o 都被成功应用于一维、 二维、 三维超冷原子 一光晶格 系统 的求解另外一种超越中场理论基于 Gu t z w i l l e r 波函数和系统强耦合展开的方法也被应 用于该系统 的求解并获得了实验验证 1 1 , 1 2 ， 然而 这个 理论进展主要得益于用来处理量子蒙特卡罗 数值 计算的计算机性 能的提升基于光晶格 中冷 原子体系的特性， P o l a k 等 【 1 3 】 在中场近似理论的基 础之上发展 了一套更为强大的量子规范旋转场理 论 ( q u a n t u m p h a s e fi e l d u( 1 1 r o t o r fi e l d ) J ， 这一 理论可 以有效地描述处于光 晶格 中的强关联 的冷 原子系统这个理论的核心思想是把关于超流态 到绝缘态转变 的相关场变量分解为玻色场 部分和 相位部分， 而相位部分的效应在传统的中场近似中 国家自然科学基金理论物理专项 ( 批准号： 1 1 2 4 7 2 9 9 ) 和湖南文理学院博士启动基金 ( 批准号： 1 3 1 0 1 0 3 8 ) 资助的课题 t通讯作者E ma i l ：l i y a n _2 0 01 1 2 6 c o rn 2 0 1 4 中国物理学会 Chi n e s e Ph ys i c a l S oc i e t y 0 667 01 1 ： w u l i x b h y a c c 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n Vo 1 6 3 ， No 6( 2 0 1 4 ) 0 6 6 7 0 1 是没有考虑 的该理论 的优点在 于使原本复杂定 性的相 图变得定量化， 因此基于该模型的理论分析 过程通常都是解 析的量子旋转场理论提供 了一 个 自洽 的并适用于求解各种情 形下 f 包括强相互 作用下)的超冷原子一 晶格系统量子旋转场理论 己被成功地用于研究处于光 晶格 中强关联冷原子 体系 的各种特 性如量子旋转场理论及其相关扩 展理论可 以有效地计算处于光晶格势阱 的冷原子 气体， 包括玻色子 【 1 4 ， 5 】 、 费米子 1 6 、 玻色一 费米混合 气体 1 7 的相图量子规范旋转场理论也可以揭示 光晶格中的冷原子气体的关联特性， 如可用来计算 系统 的飞行时间光谱 f t i me o f - fl i g h t p a t t e r n s ) 1 8 J 、 谱 函数 f s p e c t r a l f u n c t i o n s 1 1 9 】 等利 用量子旋转 场 理 论得 到 的理论 结果 也得 到 了其 他 理论 的支 持 2 o 1 ， 包括蒙特卡罗数值计算方法 2 2 和 图表微 扰理论 【 2 3 J 量子涨落对量子相干性具有重要影响， 研究量 子系统相干性 的一种重要的手段是密度 一 密度关联 函数 ( 二阶关联函数1 2 4 , 2 5 】 ， 其定义式如下： G ) ( ， ) =( n ( r ) n ( r ， ) ) 一( 礼 ( ) ) ( n ( r ， ) ) ， ( 1 ) 这里n ( r )= a t ( r ) a ( r ) 为空间密度算符， 场算符 a ( r ) 表示在位置r 处湮 灭一个粒 子；G ( ) ( ， ) 表 示 在 位 置 和 均 探 测 原 子 的 联 合 概 率， G( ) f ， r ) =0 代 表 没 有 纠 缠 的 粒 子， 而 G( 2 ) ( r ， ) 1 ( 1 ) 则表 示 原 子有 聚 集 ( 离散) 的特性， 典型 的例子如玻色子 ( 费米子) ； ( ) 代表量 子统计平均， 实验室可 以通过对 同一物理过程多次 测量并取平均得到实验上， 超 冷原子的密度 一 密 度关联函数可 以通过如下技术手 段得 到：超冷原 子气体从势 阱中释放后经过一段定时的 自由飞行 f t i me o f - fl i g h t ) 后， 再通过饱和 吸收的共振光谱记 录下超冷原子气体 的密度分布 通过多次测量所得 到的结果就可 以分析得到超冷原子密度 的涨落之 间的关联， 即密度 一 密度关联 理论和实验都表明以 上的密度 一 密度关联函数可 以揭示超冷原子气体的 多体关联特性 2 6 3 4 目前大多数的理论和 实验研 究都着重于研究 光晶格中处于绝缘态或超流态的超冷原子气体的 密度 一 密度关联 函数 3 5 _ 3 8 l ， 但很少并且 也缺乏一 个统一 的理论可 以研 究从超流态到绝缘态逐渐过 渡过程中的超冷原子气体 的高阶关联特性本文利 用量子旋转场理论并结合 Bo g o l i u b o v理论来研 究 处于光晶格的超冷玻色气体的密度 一 密度关联函数， 在此基础上展示 了从超流态到绝缘态转变 的过程 中原子气体密度 一 密度关联 函数的变化实验观察 到的从光晶格释放的超冷原子气体密度一 密度关联 函数 的一切特性在均包含在本文的理论结果 中， 例 如处于绝缘态和超流态 的冷原子气体的关联特性、 量子耗散对密度 一 密度关联 函数 的影响、 冷原子气 体背对背关联 G( 2 ) ( r ， 一 )( b a c k t o b a c k ) 和 同线关 联 G( 2 ) ( ， r )f c o l l i n e a r c o r r e l a t i o n )等 3 5 , 3 9 , 4 0 】 本 文的结果与已有的其他相关理论结果亦完全相符 2 理论模型和分析 处于光 晶格 中的超冷玻色气体的哈密顿量可 用如下的Bo s e Hu b b a r d模型描述 6 】 ： H=一 t n t ( ) 0 ( r ) + 。 ( ( ) ( r ， ) + U礼 。 ( ) 一 礼 ( r ) ， 这 里 算符 n ( ) 和 0 十 ( ) 分 别代 表在 位置 7 处湮 灭 和 产 生 一 个 粒 子；而 ， r ) 表 示 相 邻 近 的格 点； n ( r ) =a t ( r ) a ( r ) 是密度算符； 这里常数t 代表邻近 晶格间原子跳转 ( h o p p i n g ) 的强度， 当一个玻色子 从一个 晶格跳转 至另一个邻近晶格将获得能量t ； 常数 则代表处于同一晶格 中的玻色子之 间的相 互作用强度， 将一个玻色子加入该 晶格将消耗能量 ； 公式中的 = + ， 这里 是系统的化学势 f 1 ) 式所定义的系统的量子统计平均可以用如 下的关于场变量a ( r T ) 的路径积分来描述： 厂 z： D 面 0 e 一 5 【。 ， ， ( 3 ) t ， 这里a ( r T ) 是关于 “ 虚拟时间” 7 - ：0 丁 三 1 k B T的函数 ( 是玻尔兹曼常数， 而 表示温 度) 且满足周期性条件： a ( r T ) =a ( r T + ) ， 作用量 S 表示为 P 8 I s 。 0 = d T J ( r ) + 丁 下) 对场变量a ( r T 1 进行局域规范变换 a ( r T ) ：b ( r T ) e ( ， ( 5 ) 于是玻色场包含了玻色部分b ( r T ) 和附加 的“ 通 量 e 咖 ( ， 则( 3 ) 式变为 z = b b 】 (6 ) 0 6 6 7 0 1 2 9 1 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n Vo 1 6 3 ， No 6( 2 0 1 4 ) 0 6 6 7 0 1 系统的量子统计平均积分也可 以通过对玻色部分 和相位部分的作用量分别积分再相乘得到， 两部分 作用量表示如下： s 【纠= 一 I n b e - S 【 j6 ，训 ， ( 7 ) & ， h i ： 一 I n I： ) 纠 e - S b ，纠 ( 8 ) 于是 z = 【0 纠 e - $ ： 5 6 e - S b ( 9 ) 由于相位场变量 ( ) 是三角变量， 在实际计算中 较难处理为 了计