年年 级级学学 科科版版 本本通用版课程标题课程标题数形结合解简单的线性规划编稿老师编稿老师一校一校二校二校审核审核一、线性规划的有关概念 (1)把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数 (2)目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件 (3)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数 (4)如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件 (5)在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题 (6)满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域 (7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解 二、解答线性规划的应用问题的一般步骤: (1)设:设出所求的未知数; (2)列:列出约束条件及目标函数; (3)画:画出可行域; (4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数最值; (5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解,求出最值. 三、求解整点最优解有两种方法: (1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线 l,最先经过的或最后经过的整点 便是最优整点解; (2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点 最优解.例题 1 已知变量x、y满足的约束条件为 ,则目标函数z=3x+y的最大值为 ( )(A) 10. (B) 12. (C) 14. (D)15.分析；先作出线性约束条件的可行域,然后确定最优解,求出目标函数的最大值.解析；作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为(3,1),故z的最大值为=33+1=10.maxz答案 (A)2 4 250x xy xy 例题 2 在平面直角坐标系中，若不等式组Error!Error!(为常数)所表示的平面区域的面积等于a2，则的值为( )a(A) 5 (B)1 (C)2 (D) 3 分析；含字母参数的规划问题，可以考虑大于零或小a于零的情况下，把看成待定数求解。a解析； 设0，平面区域如图：a面积 S (1)12，得3.12aa当5 时，显然不合题意a答案； (D)【归纳拓展】(1)以上主要考查线性规划问题.准确画出可行域,尽量将图形作准确,借助图形找出目标函数的最优解的位置极为重要,是解题的关键.(2)在选用线性规划知识求解最优解的实际应用问题时,应首先依据实际数据利用已给的限制条件得到约束条件,将实际问题转化为数学问题;其次注意变量的范围,变量范围既要满足数学问题的限制条件,也要符合实际意义.1设实数 x，y 满足 Error!Error!，则 u 的取值范围是( )yx(A) ，2 (B) ， 131312(C) ，2 (D)2， 1252解析 在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，令 t ，根据几何意义，t 的值即为区域内的点yx与坐标原点连线的斜率，显然 kOA最小，kOB最大，点 A(3,1)，点 B(1,2)，故 t2.13易错点；不能很好的理解目标函数的几何意义，把 u 习惯的看成一条直线。yx1在平面直角坐标系中，若点(2，t)在直线 x2y40 的上方，则 t 的取值范围是( )(A)(，1) (B)(1，)(C)(1，) (D)(0,1)2不等式组Error!Error!所表示的平面区域的面积等于( )(A). (B). 3223(C). (D).43343设变量 x，y 满足约束条件Error!Error!，则目标函数 z2xy 的最小值为( )(A)2 (B)3(C)5 (D)74在直角坐标系 xOy 中，已知AOB 的三边所在直线的方程分别为 x0，y0,2x3y30，则AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )(A)95 (B)91 (C)88 (D)755某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨， B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨那么该企业可获得最大利润是( )(A)12 万元 (B)20 万元 (C)25 万元 (D)27 万元6，已知变量 x，y 满足约束条件Error!Error!，且有无穷多个点(x，y)使目标函数 zxmy取得最小值，则 m( )(A)2 (B)1 (C)1 (D)4*7当点 M(x，y)在如图所示的三角形 ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数zkxy 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数 k 的取值范围是( )(A)(，11，)(B)1,1(C)(，1)(1，)(D)(1,1)8 已知 x、y 满足不等式组Error!Error!，且 z2xy 的最大值是最小值的 3 倍，则( )a(A)0 (B). 13(C). (D)1239设变量 x，y 满足约束条件Error!Error!，则目标函数 z2xy 的最大值为_10毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为_元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船3811已知 M、N 是不等式组Error!Error!所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是_12若由不等式组Error!Error!(n0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在 x 轴上，则实数 m_.答案；1.答案 B解析 点 O(0,0)使 x2y40 成立，且点 O 在直线下方，故点(2，t)在直线 x2y40 的上方22t41.1.答案 (C)解析 平面区域如图解Error!Error!得 A(1,1)，易得 B(0,4)，C，(0，43)|BC|4 .4383 1 .ABCS1283433.答案 (B)解析 在坐标系中画出约束条件Error!Error!所表示的可行域为图中ABC，其中 A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数 z2xy 在点 B(1,1)处取得最小值，最小值为 3.4. 答案 (B)解析 由 2x3y30 知，y0 时，0x15，有 16 个；y1 时，0x13；y2 时，0x12；y3 时，0x10；y4 时，0x9；y5 时，0x7；y6 时，0x6；y7 时，0x4；y8 时，0x3；y9 时，0x1，y10 时，x0.共有 161413111087542191 个5. 答案 (D)解析 设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨，y 吨，由题意得Error!Error!，获利润 5x3y，画出可行域如图，由Error!Error!，解得A(3,4)3 ，当直线 5x3y5323经过 A 点时，27.max6. 答案 (C)解析 由题意可知，不等式组表示的可行域是由 A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分当 zxmy 与 xy40 重合时满足题意，故 m1.7. 答案 (B)解析 由目标函数 zkxy 得 ykxz，结合图形，要使直线的截距 z 最大的一个最优解为(1,2)，则 0kkAC1 或0kkBC1，k1,18答案 (B)解析 依题意可知 A1.作出可行域如图所示，z2xy在 A 点和 B 点处分别取得最小值和最大值由Error!Error!得 A()， 由Error!Error!得 B(1,1)，aa,3，zmin3. .maxzaa139 答案 2解析 可行域为图中阴影部分ABC，显然当直线 2xyz 经过可行域内的点 A(1,0)时，z 取最大值，2.maxz10 答案 116解析 设租大船 x 只，小船 y 只，则 5x3y48，租金 z12x8y，作出可行域如图， ，当直线 z12x8y 经过点(9.6,0)时，z 取最小5332值，但 x，yN，当 x9，y1 时，zmin116.11 答案 17解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点 D(5,1)与点 B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为.1712答案 33解析 根据题意，三角形的外接圆圆心在 x 轴上，OA 为外接圆的直径，直线 xmyn 与 xy0 垂直，3 1，即 m.1m1333