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第四部分第四部分 数列数列一、等差数列常见结论一、等差数列常见结论1,判断给定的数列是等差数列的方法na(1)定义法:是常数数列是等差数列;1nnaad*()nNna(2)通项公式法:数列是等差数列;( ,)naknb k b是常数na(3)前 n 项和法:数列的前 n 项和na数列是等差数列;222( ,0)nAnBn A BBS是常数, Ana(4)等差中项法:数列是等差数列;* 212()nnnnNaaana2,等差数列的通项公式的推广和公差的公式:;*() ( ,)nmaanm d n mN*( ,)nmaadn mNnmnm 3,若 A 是 a 与 b 的等差中项2Aab 4,若数列,都是等差数列且项数相同,则na nb都是等差数列;,nnnnnnnkbababpaqb5,等差数列中,若项数成等差数列,则对应的项也成等差数列;na6,等差数列中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列;na7,若数列是等差数列,且项数满足,则na*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpq,反之也成立;当时,即的等mnpqaaaapq2mnpaaapmnaaa是和差中项; 8,若数列是等差数列的充要条件是前 n 项和公式,是 n 的二次函数或一na( )nSf n次函数且不含常数项,即;222( ,0)nAnBn A BBS是常数, A9,若数列的前 n 项和,则数列从第二na2( ,)nAnBnC A Bs是常数, C 0na项起是等差数列;10,若数列是等差数列,前 n 项和为,则也是等差数列,其首项和的nanSnS nna首项相同,公差是公差的;na1 211,若数列,都是等差数列,其前 n 项和分别为,则;na nb,nnS T2121nnnnaS bT12,若三个数成等差数列,则通常可设这三个数分别为;若四个数成等差, ,xd x xd数列,则通常可设这四个数分别为;3 ,3xd xd xd xd13,等差数列的前 n 项和为,且分别为数列的前 m 项,nanS234,mmmmSSSSna2m 项,3m 项,4m 项,的和,则成等差数列(等差数232,mmmmmSSSSS列的片段和性质) ; 14,等差数列中,若项数 n 为奇数,设奇数项的和和偶数项的和分别为,naSS奇偶,一、等差和等比数列部分一、等差和等比数列部分则;若项数 n 为偶数,;1 1Sn Sn奇偶221nnaS Sa奇偶15,在等差数列中,若公差,则等差数列为递增数列;若公差,则na0d na0d 等差数列为递减数列;若公差,则等差数列为常数列;na0d na16,有关等差数列的前 n 项和为的最值问题:nanS(1)何时存在最大值和最小值 若,则前 n 项和为存在最大值10,0adnS 若,则前 n 项和为存在最小值10,0adnS(2)如何求最值 方法一:(任何数列都通用)通过解出 n 可求前 n 项和为的最大值;100nnaa nS通过解出 n 可求前 n 项和为的最小值; 100nnaa nS 方法二:利用等差数列前 n 项和的表达式为关于 n 的二次函数且常数项为 0(若nS为一次函数,数列为常数列,则前 n 项和不存在最值),利用二次函数求最值的nS方法进行求解;有以下三种可能: 若对称轴 n 正好取得正整数,则此时 n 就取对称轴;若对称轴不是正整数,而是靠 近对称轴的相邻的两个整数的中点值,则 n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数; 若对称轴即不是正整数,又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值,则 n 就取 靠近对称轴的那个正整数; 利用等差数列的相关性质求解 17,用方程思想处理等差数列中求相关参数问题,对于这五个量,知任意三1, ,nna n Sa d个可以求出其它的两个,即“知三求二” 二、二、等比数列常见结论等比数列常见结论 1, 对等比数列定义的理解 (1)是从第二项开始,每一项与前一项的比 (2)每一项与前一项的比试同一个常数,且这个常数不为 0 (3)等比数列中任何一项都不为 0(4)符号语言的描述:若数列中满足(不为 0 的常数) ,则数列为na1nnaqana等比数列;2, 当且仅当两个数 a 和 b 同号是才存在等比中项,且等比中项为Gab 3, 若成等比数列,则,a G b2Gab4, 判断给定的数列是等比数列的方法na(1)定义法:(不为 0 的常数)数列为等比数列;1nnaqana(2)中项法:数列为等比数列;2 21nnna aana(3)前 n 项和法:数列的前 n 项和(A 是常数,na=A-AqnnS)数列为等比数列;0,0,1Aqqna5, 等比数列通项公式的推广:若为等比数列,则na*( ,)n m nmaa qn mN6, 若数列是等比数列,且项数满足,则na*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpq,反之也成立;当时,即的等比中项;mnpqa aa apq2 mnpa aapmnaaa是和7, 等比数列中,若项数成等差数列,则对应的项也等比数列;na8, 等比数列中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列;na9, 若数列,都是等比数列且项数相同,则都是na nb2(0),n nnnn nakaka babg,等比数列; 10, 若等比数列的公比为参数,则在求前 n 项和时应分两种情况讨naqnS1q 和1q 论,即;当时111(1)(1)(1)11n nnna qSaa qaqqqq 1q 1(1)(,0,0,1)1n naSAqAAqqq11, 若三个数成等比数列,通常可设这三个数分别为;, ,xx xqq12, (等比数列的片段和性质)公比不为的等比数列前 n 项和为,则1nanS成等比数列;232,nnnnnSSSSS13, 用方程思想处理等比数列相关参数问题,对于这五个量,知任意三个可1, ,nna n Sa q以求出其它的两个,即“知三求二” ; 三、等差与等比数列三、等差与等比数列1, 若正项数列为等比数列,则数列为等差数列;nalogana2, 若数列为等差数列,则数列为等比数列;nanab3, 任意两数都存在等差中项为,但不一定都存在等比中项,当且仅当同号时, a b2ab, a b才存在等比中项为;ab 4, 任意常数列都是等差数列,但不一定都是等比数列,当且仅当非零的常数列即是等差数 列又是等比数列; 四、例题分析四、例题分析例例 1、 (12 年广东文年广东文 12)若等比数列an满足则 .241,2a a 2 135a a a 【命题意图】此题考查等比数列的通项公式,考查等比数列的性质,即若数列是等比na数列,且项数满足,则,反之也*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpqmnpqa aa a成立;当时,即的等比中项;pq2 mnpa aapmnaaa是和【解析】224 24315241353111,224a aaa aa aa a aa例例 2、 (12 重庆理重庆理 1)在等差数列中,则的前 5 项和=( )na12a54ana5SA、7 B、15 C、20 D、25 【解析】此题考查等差数列的求和公式,可以利用“若数列是等差数列,且项数na满足,则,反之也成立;当*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpqmnpqaaaa时,即的等差中项;”此结论快速求解pq2mnpaaapmnaaa是和因为,所以,所以数列的前 5 项和12a54a64251aaaa,选 B.15625 2)(5 2)(54251 5aaaaS例例 3、(12 全国卷理全国卷理 5)已知等差数列的前 n 项和为,则数列nanS555,15aS的前 100 项和为( )A、 B、 C、 D、11nna a100 10199 10199 100101 100【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式,考查利用裂项相消法求非特殊数列的前n 项和,所以由,得,所以,所以15, 555Sa1, 11dannan) 1(1,111 ) 1(111nnnnaann又,选 A.101100 101111011 1001 31 21 21 111110110021LLaaaa例例 4、 (12 湖北理湖北理 18) (本小题满分 12 分)已知等差数列前三项的和为3,前三项的积为8, ()求等差数列的通项公式;nana()若成等比数列,求数列的前n项和.231,a a a|na【解析】此题考查等差数列的通项公式和前n项和为、等比数列的通项公式,考查方程思nS想在解决数列问题中的应用()设等差数列的公差为,则,nad2131,2aad aad由题意得, 解得或 1111333,()(2 )8ada ad ad 123ad 143ad 所以由等差数列通项公式可得,或35nan 37nan()当时,分别为1,4,2,不成等比数列;35nan 231,a a a当时,分别为1,2,4,成等比数列,满足条件.37nan231,a a a故 ,记数列的前n项和为,37,1,2| |37|37,3nnnannn|nanS当时,;当时,;1n 11| 4Sa2n 212| 5Saa当时,3n ,2342| 5(3 37)(3 47)(37)(2)2(37)311510222nnSSaaannnnn 当时,满足此式.综上, 2n 24,1 31110,122nn Snnn例例 5、 (10 全国全国理理 4 4)如果等差数列中,那么na34512aaa( )127aaaA、14 B、21 C、28 D、35【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. ,所以选 C17 3454412747()31247282aaaaaaaaaaa例例 6 6、 (09 宁夏海南理宁夏海南理 16)等差数列前 n 项和为。已知+-nanS1ma1ma=0,=38,则_2 ma21mSm 【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.由+-=01ma1ma2 ma得到。1212 212120,0,22138102m mmmmmmaaaaaSmam 又例例 7、 (11 广东理广东理 11)等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和若,则na141,0kaaa_ k 【解析】此
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