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绝密*启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第卷时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合,则中所含元1,2,3,4,5 ,( , ),ABx y xA yB xyAB素的个数为( )(A)3 (B)6 (C) 8 (D)10【答案】:D【解析】:由题意得,当时,共 4 中情形;当时,5x 4,3,2,1y 4x 共 3 种情形;当时,共 2 种情形;当时,共 1 种情形,3,2,1y 3x 2,1y 2x 1y 共计 10 种可能,所以集合 B 中的元素个数为 10 个,故选 D.【点评】:本题考查了集合的运算性质,属于中低挡试题,关键在于准确把握试题的条件,正确、合理分类求解.(2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有(A)12 种 (B)10 种 (C) 9 种 (D)8 种【答案】:A【解析】:由题意得,先由甲地选 1 名教师 2 名学生,剩余的 1 名教师 2 名学生去乙地,则有种不同的安排方法,故选 A.12 2412C C 【点评】:本题考查了排列组合的相关知识,属于中低档试题,准确把握题意是解题的关键.(3)下面是关于复数的四个命题:2 1zi P1:|z|=2, P2:z2=2i,P3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1,其中的真命题为( )(A)p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,P4 (D)P3,P4【答案】:C【解析】:由题意得,则,22( 1)112izii 2z ,22( 1)2zii ,复数的虚部为,所以是正确的,故选 C.1zi z124,pp【点评】:本题考查了复数的基本概念和复数运算,正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键,属于中低挡试题,解题时需认真、细致.(4)设是椭圆 E:的左、右焦点,P 为直线上一12FF2222(0)xyabab3 2ax 点,是底角为的等腰三角形,则 E 的离心率为( )21F PF30o(A) (B) (C) (D)1 22 33 44 5【答案】:C【解析】:由题意得(如图所示),00 12212060FF PMF P 在直角中,2MF P0 2sin603PMPFc又,且,23 2F Mac0233tan60333 22PMcc F Macac 所以,故选 C.3 4cea【点评】:本题考查了圆锥曲线的几何性质离心率的计算,正确把握条件是解题O1FF2FF3 2xaPM的关键.(5)已知为等比数列,则( )na332aa568a a 110aa(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7【答案】:D【解析】:由题意,根据等比数列的性质得,又,56478a aa a 472aa设是方程的两根,则解得47,a a2280xx44772,4,4;2.aaaa 或解得,故选 D.1107aa 【点评】:本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质,属于中低档试题.(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数和实数,输出 A,B,则(2)N N 12,.,na aa(A)A+B 为的和12,.,na aa(B)为的算术平均数2AB12,.,na aa(C)A 和 B 分别是中最大的数和最小的数12,.,na aa(D)A 和 B 分别是中最小的数和最大的数12,.,na aa【答案】:C【解析】:由题意,根据给定的程序框图可知,此程序框图是计算的123,Na a aaL最大值与最小值的算法框图,A 表示计算最大值,B 表示计算123,Na a aaL的最小值,故选 C.123,Na a aaL【点评】:本题考查了程序框图的相关知识,正确理解算法框图是解决此类问题的关键.(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6 (B)9 (C)12 (D)18【答案】:B【解析】:由题意得,根据三视图的规则,原几何体表示底面为直角边长为的等3 2腰直角三角形,高为 3 的三棱锥,所以几何体的体积为,故选 B.1113 23 239332VSh 【点评】:本题考查了三视图的相关知识,根据三视图的规则得到原几何体的线面关系及度量关系,从而计算几何体的体积与表面积.(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线的准线交于216yxA,B 两点,则 C 的实轴长为4 3AB (A) (B) (C)4 (D)822 2【答案】:C【解析】:由题意得,设等轴双曲线的方程为,又抛物线的准线22221xy aa216yx方程为.4x 代入双曲线的方程得,所以,2221616yaya 22 164 3a解得,所以双曲线的实轴长为,故选 C.2a 24a 【点评】:本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识,计算相交弦长,确定圆锥曲线的几何性质.(9)已知 0,函数在单调递减,则的取值范围是 sin()4f xx,21 5A.,2 4 1 3B.,2 4 1C. 0,2D. 0,2【答案】:A【解析】:由题意得,函数的单调递减区间为, sin()4f xx3 242x则,所以,则,解得.5 44x5 44x 5 424且15 24故选 A.【点评】:本题考查了三角函数的性质,体现了三角函数性质的整体代换思想,属于中档试题,需细心认真求解.(10) 已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图像大致为1 ln(1)xx【答案】:B【解析】:由题意得,函数的定义域为, f x10,100,xxxx 且令, 1ln(1)111xg xxxgxxx 当,则在区间为单调递增函 100xgx 00xgx f x1,0数,在区间为单调递减函数,所以的图象大致为 B,故选 B.0, f x【点评】:本题考查了函数的性质,利用函数的性质选择函数的图象,属于中档试题.(11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( )2(A)63(B)62(C)32(D)2【答案】:A【解析】:由题意得,的边长为 1,所以,ABC13 3AO 在直角中,所以,所以三棱锥的高,1AOO1AO 16 3OO SABC2 6 3h 所以几何体的体积为,故选 A.21132 62133436VSh【点评】:本题考查了组合体的性质,根据三棱锥与球的组合体,计算三棱锥的度量关系,本题属于中档试题,需认真把握几何体的线面关系和度量关系.(12)设点 P 在曲线 y=ex 上,点Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|pQ|最小值为1 2(A) 1-ln2 (B) (C)1+ln2 (D) (1+ln2)2(1 ln2)2【答案】:B【解析】:由题意得,函数与函数互为反函数,图象关于直线1 2xyeln(2 )yx对称, 又,令,yx11 22xxyeye11ln2yx 1ln(2 )yxyx令, 则,所以的最小值为,故选 B.211yx 121 ln2xx PQ2(1 ln2)【点评】:本题考查了互为反函数两函数之间的关系,同时考查了利用导数处理函数的性质,本题有一定的技巧性,属于中高档试题,需要细致审题,认真梳理条件.OO1SA BC第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.(13)已知向量 a,b 夹角为 450 ,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .10【答案】:3 2【解析】:由题意得,2222024444cos45abaa bbabb rrrr rrrrr则.2044cos45103 2abbbrrrr【点评】:本题考查了平面向量的数量积与向量的模的相关知识,属于中低档试题.(14) 设 x,y 满足约束条件则 z=x-2y 的取值范围为 .1,3,0,0,xyxyxy 【答案】:3,3【解析】:由题意得,画出实数满足约束条件所表示的可行域,当取可行域内点, x y时,目标函数取得最大值,最大值为 3,当取可行域内点时,3,0A2zxy1,2B目标函数取得最小值,最小值为,所以目标函数的取值范围为2zxy32zxy.3,3【点评】:本题考查了利用线性规划求最值的知识,正确画出可行域,移动目标函数到边界认真计算最值是解题的关键.(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(100,,5),且各个部件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .【答案】:3 8【解析】:由题意得,三个电子元件的使用寿命服从正态分布,则每个元2(1000,50 )N件的寿命超过 1000 小时的概率均为,则元件 1 和 2 超过 1000 小时的概率为1 2,则该部件使用寿命超过 1000 小时的概率为.1131224313 428【点评】:本题考查了相互独立事件发生的概率及对立事件的应用,体现了概率的计算方法,认真审题时解好概率问题的关键.(16)数列满足=2n-1,则的前 60 项和为 . na1( 1)nnnaa 【答案】:1830【解析】:由题意,由,得1( 1)21n nnaan =21( 1)21n nnaan 1( 1) ( 1)2121nn nann,( 1) (21)21n nann 即,2( 1) (21)21n nnaann 也有,31( 1) (21)23n nnaann 两式相加得.1232( 1)44n nnnnaaaan 设为整数,则,k41 414243442( 1)
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