二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程重点题型探究重点题型探究类型一、二次函数图象与坐标轴交点 例 1（1）判断下列二次函数的图象与 x 轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有， 说明理由.y=-x2-x+1； ； y=x2+3x+4.思路点拨：二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴公共点横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的实根. 解： 有两个公共点 对于方程 -x2-x+1=0，方程有两个不等实根两根为 两个公共点坐标为；只有一个公共点对于方程 方程有两个相等实根，公共点坐标为(-2，0)； 没有公共点，理由如下： 对于方程 x2+3x+4=0 =32-414=-70，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方.=4m2-4(m-2)(m+1) =4m2-4(m2-m-2) =4m+8 =4(m+1)+40. 抛物线与 x 轴有两个不同的交点. 总结升华： 此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与 x 轴有两个不同交点(用抛物线与 y 轴的交 点 C 在 x 轴上方，开口向下，必与 x 轴有两个不同交点). 【变式 2】二次函数 y=mx2+(2m-1)x+m+1 的图象总在 x 轴的上方，求 m 的取值范围. 思路点拨：抛物线总在 x 轴上方表明(1)开口向上；(2)与 x 轴没有公共点. 解：由题意类型二、利用图象法求一元二次方程的解 例 2.（1）阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程 化为，画出的图象，观察它与 x 轴的交点，得出方程的解.乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流. 答案： 上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线 的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法. （2）已知函数 y=mx26x1（m 是常数） 求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； 若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值解：当 x=0 时，所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）第一种情况：当时，函数的图象与轴只有一个交点；第二种情况：当时，若函数的图象与轴只有一个交点则方程有两个相等的实数根，所以，综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 0 或 9举一反三：【变式 1】利用函数的图象，求方程的解：解：先把方程化成 x2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象，得到它们的交点 (-3，9)和(1，1)，则方程的解为 x=-3 或 x=1.总结升华：一般地，求一元二次方程 的近似解时，通常先把方程化成的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出 y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.【变式 2】利用函数的图象，求方程组的解：思路点拨：可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.解：在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图，得到它们的交点坐标 (-2，0)，(3，15)，则方程组的解为.总结升华：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解，关键是根据图象 来理解方程和函数的内在关系. 类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 例 3已知抛物线的顶点 P(3，-2)且在 x 轴上所截得的线段 AB 的长为 4. (1)求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点 Q，使QAB 的面积等于 12，若存在，求点 Q 的坐标，若不存在， 请说明理由. 思路点拨：已知抛物线的顶点坐标及与 x 轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求 抛物线与 x 轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量. 解： (1)由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)设抛物线的解析式为 y=a(x-3)2-2 且对称轴为 x=3，由抛物线的对称性可知， 当抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 时，则点 A、点 B 到直线 x=3 的距离均为 2 A(1，0)，B(5，0)a(1-3)2-2=0，解得.(2)假定存在点 Q(m，n)，使 SQAB=12，又当 n=6 时，解得 m1=-1，m2=7当 n=-6 时，无实根 Q(-1，6)或(7，6)为所求.例 4已知二次函数 y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中 m 为非负整数)，其图象交 x 轴于点 A、点 B，且点 A 在原点左侧，点 B 在原点右侧. (1)求此二次函数的解析式； (2)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与这个二次函数的图象交于点 C 且 SABC=10，求一 次函数的解析式. 解： (1)抛物线开口向下，与 x 轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示 x=0 时 y0m=0 y=-x2+2x+3 为所求. (2)令 y=0，-x2+2x+3=0 解得 x1=-1，x2=3 A(-1，0)，B(3，0)，AB=4 设 C(p，q)q=-p2+2p+3 SABC=10，当 q=5 时，-p2+2p+3=5，无实根， 当 q=-5 时，-p2+2p+3=-5，p1=-2，p2=4 C1(-2，-5)，C2(4，-5) 若 y=kx+b 过 A(-1，0)，C(-2，-5)若 y=kx+b 过 A(-1，0)，C(4，-5)y=5x+5 或 y=-x-1 为所求.【变式 1】已知：关于 x 的方程（1）当 a 取何值时，二次函数的对称轴是 x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根.解：(1)二次函数的对称轴是 x=-2解得 a=-1经检验 a=-1 是原分式方程的解.所以 a=-1 时，二次函数的对称轴是 x=-2；(2)当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；当 a0 时，原方程为一元二次方程，当方程总有实数根，整理得， a0 时 所以 a 取任何实数时，方程总有实数根.