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菱形菱形学习要点学习要点一、菱形的定义一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形,对于它的定义要注意满足两个条件:(1)首先应该是平行四边形;(2)有一组邻边相等。菱形的定义可以用来判断一个四边形是不是为菱形。例题 1、如图 1 所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,要使之是菱形,需要添加的条件(不再添加任何辅助线)是 。解:由图形和菱形的定义可以知道,应该添加的条件是:AB=BC(BC=CD、CD=DA、DA=AB)。此题的答案不唯一,所添加的条件只要符合菱形的定义即可。例题 2、如图 2 所示,在ABC 中,AB=AC,M 是 BC 的中点,MGBA,MDAC,GFAC,DEAB,垂足分别为 G、D、F、E,GF 与 DE 相交于 H,试说明:四边形 HGMD 是菱形分析:利用菱形的定义,先说明四边形 HGMD 是平行四边形,再说明 RtBGMRtCDM,得 GM=DM,就可以说明四边形 HGMD 是菱形了。解:因为 MDAC,GFAC,所以 MDGF,同理 MGDE,所以四边形所以四边形 HGMDHGMD 为平行四边形为平行四边形。由 AB=AC,则B=C,又 BM=MC,因为 MGBA,MDAC,所以BMG 和CMD 都是直角三角形,所以 RtBGMRtCDM,所以所以 MG=MDMG=MD,所以四边形 HGMD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)。二、菱形的性质二、菱形的性质菱形的性质有两条:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线都平分一组对角。DCBAMGFEDCBA例题、如图所示,在菱形 ABCD 中,两条对角线的长度之比是3:4,它们的差是 2cm,求菱形的面积。解:在菱形 ABCD 中,AC:BD=3:4,则 BD=4 3AC,因为 BDAC=2cm,所以4 3ACAC=2cm,即 AC=6cm,BD=8 cm。因为菱形的对角线相等并且互相垂直平分,所以 RtABORtBCORtCDORtDAO,AO=CO=3 cm,BO=DO=4 cm,所以菱形 ABCD 的面积是1 2AOBO4=1 234=62cm。三、菱形的判定三、菱形的判定菱形除了可以用它的定义来判断之外,还有另外两个判断定理:(1)四条边相等的四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例题 1、如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别相交于 E、F、O。试说明四边形 AFCE 是菱形。分析:在四边形 AFCE 中,已有对角线 EFAC,要说明四边形 AFCE 是菱形,只需说明四边形 AFCE 是平行四边形即可。解:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ADBC,所以EAO=FCO,AEO=CFO,所以 AO=OC,所以AOECOF,所以 OF=OE,因为 OA=OC,所以四边形所以四边形 AFCEAFCE 是平行四边形是平行四边形。又又 EFACEFAC,所以平行四边形 AFCE 是菱形。例题 2、如图所示,在四边形 ABCD 中,对角线 AC=BD,E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点,说明四边形 EFGH 为菱形的理由。解:因为在ABC 中,AE = BE,BF = CF,ODCBAOFE DCBAHGFEDCBA所以 EF = 21AC。同理 FG =21BD,GH =21AC,HE =21BD。又因为 AC = BD,所以 EF = FG = GH = HE,所以四边形 EFGH 为菱形(四条边相等的四边形是菱形)。
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