菱形菱形学习要点学习要点一、菱形的定义一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义要注意满足两个条件：（1）首先应该是平行四边形；（2）有一组邻边相等。菱形的定义可以用来判断一个四边形是不是为菱形。例题 1、如图 1 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，要使之是菱形，需要添加的条件（不再添加任何辅助线）是 。解：由图形和菱形的定义可以知道，应该添加的条件是：AB=BC（BC=CD、CD=DA、DA=AB）。此题的答案不唯一，所添加的条件只要符合菱形的定义即可。例题 2、如图 2 所示，在ABC 中，AB=AC，M 是 BC 的中点，MGBA，MDAC，GFAC，DEAB，垂足分别为 G、D、F、E，GF 与 DE 相交于 H，试说明：四边形 HGMD 是菱形分析：利用菱形的定义，先说明四边形 HGMD 是平行四边形，再说明 RtBGMRtCDM，得 GM=DM，就可以说明四边形 HGMD 是菱形了。解：因为 MDAC，GFAC，所以 MDGF，同理 MGDE，所以四边形所以四边形 HGMDHGMD 为平行四边形为平行四边形。由 AB=AC，则B=C，又 BM=MC，因为 MGBA，MDAC，所以BMG 和CMD 都是直角三角形，所以 RtBGMRtCDM，所以所以 MG=MDMG=MD，所以四边形 HGMD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）。二、菱形的性质二、菱形的性质菱形的性质有两条：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线都平分一组对角。DCBAMGFEDCBA例题、如图所示，在菱形 ABCD 中，两条对角线的长度之比是3：4，它们的差是 2cm，求菱形的面积。解：在菱形 ABCD 中，AC：BD=3：4，则 BD=4 3AC，因为 BDAC=2cm，所以4 3ACAC=2cm，即 AC=6cm，BD=8 cm。因为菱形的对角线相等并且互相垂直平分，所以 RtABORtBCORtCDORtDAO，AO=CO=3 cm，BO=DO=4 cm，所以菱形 ABCD 的面积是1 2AOBO4=1 234=62cm。三、菱形的判定三、菱形的判定菱形除了可以用它的定义来判断之外，还有另外两个判断定理：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例题 1、如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别相交于 E、F、O。试说明四边形 AFCE 是菱形。分析：在四边形 AFCE 中，已有对角线 EFAC，要说明四边形 AFCE 是菱形，只需说明四边形 AFCE 是平行四边形即可。解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，所以EAO=FCO，AEO=CFO，所以 AO=OC，所以AOECOF，所以 OF=OE，因为 OA=OC，所以四边形所以四边形 AFCEAFCE 是平行四边形是平行四边形。又又 EFACEFAC，所以平行四边形 AFCE 是菱形。例题 2、如图所示，在四边形 ABCD 中，对角线 AC=BD，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点，说明四边形 EFGH 为菱形的理由。解：因为在ABC 中，AE = BE，BF = CF，ODCBAOFE DCBAHGFEDCBA所以 EF = 21AC。同理 FG =21BD，GH =21AC，HE =21BD。又因为 AC = BD，所以 EF = FG = GH = HE，所以四边形 EFGH 为菱形（四条边相等的四边形是菱形）。