随机 过程随机 过程基础知识基础知识基本概念基本概念马尔可夫过程马尔可夫过程随机分析随机分析平稳过程平稳过程鞅和鞅表示鞅和鞅表示维纳过程维纳过程Ito定理定理基础资产价格基础资产价格衍生产品定价衍生产品定价第一章基 础 知 识第一章基 础 知 识第一节概率第一节概率第二节随机变量及其分布第二节随机变量及其分布第三节随机变量的数字特征第三节随机变量的数字特征第四节矩母函数和特征函数第四节矩母函数和特征函数第五节条件期望第五节条件期望第六节指数分布第六节指数分布第七节收敛性和极限定理第七节收敛性和极限定理第一节概率第一节概率一、基本概念一、基本概念1随机试验其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。首页首页2样本空间样本空间随机试验所有可能结果的集合，记为。其中每一个结果，称为样本点。样本空间的一个子集E。对样本空间的每一个事件E，都有一实数P（E）与之对应，且满足：（1）3随机事件随机事件4概率概率10）（EP1=）（P ?，21EE（3）对两两互不相容的事件序列（2）)11=iiiiEPEP（）（则称P（E）为事件E的概率概率。首页首页二、概率的性质：二、概率的性质：1 0=）（P2 ）（）（）（）（EFPFPEPFEP+=3 )(1)(EPEPc=4 设nEEE，?21两两互不相容 ，则)11 =niiiniEPEP（）（5 设两两互不相容的事件，?21EE=iiE 1则对于任意事件A，有 )1=iiEAPAP（）（首页首页三、概率的连续性三、概率的连续性1极限事件对于事件若，?21EE1+nnEE1n则称事件序列 1nEn，递增 ，若1+nnEE1n则称事件序列 1nEn，递减。这样可定义一个新的事件，记为nnE limiinnEE= 1lim1+nnEEiinnEE= 1lim1n1+nnEE1n首页首页2连续性定理若是递增的或递减的事件序列，1nEn，)limlimnnnnEPEP =（）（证明证明 1nEn，nF11EF =c nnc ininnEEEEF111)(=1nnFnEiEni ）（AP）（）（）（APABPABP=|为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。若1定义则称首页首页定理定理2（乘法公式）（乘法公式）2基本公式假设为任意n个事件（），nAAA，?212n021）（nAAAP?)|()|()(21312121AAAPAAPAPAAAPn=）（）（121|nnAAAAP?若则首页首页定理定理3（全概率公式与贝叶斯公式）（全概率公式与贝叶斯公式）设事件两两互不相容，nBBB，?21= =iniB 10）（iBPni,21?，=则（1）对任意事件A，有)|)(1iiniBAPBPAP（）（ =（2）对任意事件A ，若，有0）（AP)|)|)|(1iiniii i BAPBPBAPBPABP （）（）（ =首页首页五、独立性如果事件A，B满足 ）（）（）（BPAPABP=设是n个事件，如果对于任意和，有nAAA，?21)2(ns sniiis=jyYP （jijjji jippyYPyYxXPyYxXP=),)|（ixX =jyY =iijiji ijppxXPyYxXPxXyYP),)|（同样同样为在条件下，随机变量为在条件下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。首页首页4条件分布函数连续型称为在条件下，随机变量称为在条件下，随机变量X的条件分布律 。的条件分布律 。同样同样称为在条件下，随机变量称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。)(),()|(yfyxfyxfY=yY =)(),()|(xfyxfxyfX=xX =注意注意：分母不等于：分母不等于0返回返回首页首页第三节随机变量的数字特征第三节随机变量的数字特征一、期望和方差一、期望和方差1期望期望设设离散型随机变量随机变量X的分布律为的分布律为则则kkpxXP=)(?, 2 , 1=k)(XEkk kpx=1设设连续型随机变量随机变量X的概率密度为，的概率密度为，)(xf则则)(XEdxxxf)(+= 首页首页函数期望当函数期望当X为为离散型随机变量则当随机变量则当X为为连续型随机变量，则随机变量，则)(XgY=)()(XgEYEkk kpxg)(1=)()(XgEYEdxxfxg)()(+首页首页2。方差称随机变量的期望为。方差称随机变量的期望为X的方差，即计算方差时通常用下列关系式：的方差，即计算方差时通常用下列关系式：2)(XEX)(XD)(2XEXE=)(XD22)(XEXE=首页首页3性质（性质（1）（）（2）（3） 若） 若X和和Y相互独立，则相互独立，则CCE=)(0)(=CD)()(XCECXE=)()(2XDCCXD= =niiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE=（4）0)(=XD的充要条件是的充要条件是1)(=XEXP返回返回首页首页3性质（性质（5）（柯西）（柯西许瓦兹不等式）等式成立当且仅当（许瓦兹不等式）等式成立当且仅当（6）若若X为非负整数值的随机变量，则证为非负整数值的随机变量，则证)()(| )(|222YEXEXYE1)(0=XtYP)()(1iXPXEi=首页首页（7）若）若X为非负值的随机变量，则为非负值的随机变量，则1()()kE XkP Xk=+= 0)(1)(dxxFXE）（) 1(=XP )2()2(=+=+XPXP )3()3()3(=+=+=+XPXPXP ?+ )()()(nXPnXPnXP=+=+=+? ?+ 最后对每一丛向列求和，即得。最后对每一丛向列求和，即得。首页首页1协方差计算协方差时通常用下列关系式：协方差计算协方差时通常用下列关系式：二、协方差和相关系数二、协方差和相关系数),(CovYX)()(YEYXEXE=),(CovYX)()()(YEXEXYE=2.相关系数相关系数)()(),(CovYDXDYXrXY=首页首页3性质（性质（1）（）（2）若）若X和和Y相互独立，则相互独立，则（4）的充要条件是）的充要条件是X与与Y以概率以概率1线性相关，即线性相关，即),(Cov2)()(1,11jnjijiiniiniiXXXDXD（ 首页首页二、无记忆性若随机变量二、无记忆性若随机变量X满足则称随机变量满足则称随机变量X是是无记忆的无记忆的。如果我们把如果我们把X看作某仪器的寿命，则看作某仪器的寿命，则X的无记忆性表示的无记忆性表示 :|sXPtXtsXP=+0ts，在仪器已工作了在仪器已工作了t 小时的条件下，它至少工作 小时的概率与它原来至少工作小时的条件下，它至少工作 小时的概率与它原来至少工作s 小时的概率是相同的。小时的概率是相同的。换句话说如果仪器在时刻换句话说如果仪器在时刻t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。ts +首页首页考虑一个有两名营业员的邮局。假设当考虑一个有两名营业员的邮局。假设当A进去时，他发现一名营业员正在给进去时，他发现一名营业员正在给B办事而另一名营业员正在为办事而另一名营业员正在为C服务。还假设已告诉服务。还假设已告诉A ，一旦，一旦B或或C离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是的指数分布。三个顾客中离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是的指数分布。三个顾客中A最后离开邮局的概率是多少？最后离开邮局的概率是多少？例例1 解考虑解考虑A发现一个营业员有空的时刻，此时发现一个营业员有空的时刻，此时B与与C中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为，即仿佛他才开始服务中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为，即仿佛他才开始服务 ./1/1因此由对称性，他在因此由对称性，他在A之前结束服务的概率为，故之前结束服务的概率为，故A最后离开邮局的概率也是。最后离开邮局的概率也是。2/12/1首页首页三、失效率函数指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。三、失效率函数指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。1定义设是一个非负连续随机变量定义设是一个非负连续随机变量X的分布函数，其密度函数，的分布函数，其密度函数，)(tF)(tf则则 )()()(tFtft =称为称为X 的的失效（或风险）率函数失效（或风险）率函数。)(1)(tFtF=)(tXP=存活函数存活函数首页首页2 的直观解释为了阐明的意义，把 的直观解释为了阐明的意义，把X设想为某种元件的寿命，且设想为某种元件的寿命，且X假定已经存活假定已经存活t 小时，我们要求再过时间小时，我们要求再过时间dt它失效的概率，即考虑它失效的概率，即考虑由于可见表示一个由于可见表示一个t 岁的元件将失效的可能性大小，即元件将失效的概率强度。岁的元件将失效的可能性大小，即元件将失效的概率强度。|tXdttXtP+0|lim= XXPnnXXP n首页首页如果如果4依分布收敛设，分别为随机变量及依分布收敛设，分别为随机变量及X 的分布函数随机变量序列以分布收敛于的分布函数随机变量序列以分布收敛于X，记作，记作nX则称则称)(xFn)(xFnX对于的每一个连续点对于的每一个连续点x，有，有)(xF )()(limxFxFn n= XXd n首页首页（1）若均方收敛，则必为依概率收敛；）若均方收敛，则必为依概率收敛；收敛性之间的关系收敛性之间的关系nXnX（2）若以概率）若以概率1收敛，则必为依概率收敛；收敛，则必为依概率收敛；nXnX（3）若依概率收敛，则必为依分布收敛。）若依概率收敛，则必为依分布收敛。nXnX均方收敛与以概率均方收敛与以概率1收敛不存在确定的关系。收敛不存在确定的关系。注注二、极限定理二、极限定理1强大数定理如果独立同分布， 具有均值，则强大数定理如果独立同分布， 具有均值，则?，21XX 1/ )(lim21=+ nXXXPnn?首页首页2中心极限定理如果独立同分布，具有均值与方差，则中心极限定理如果独立同分布，具有均值与方差，则?，21XX 2+annXXPnn?1limdxexa2221=注若令，其中独立同分布注若令，其中独立同分布ininXS =1?，21XX则则强大数定理强大数定理表明以概率表明以概率1收敛于；收敛于；nSn/iXE中心极限定理中心极限定理表明当时，有 渐进正态分布。表明当时，有 渐进正态分布。nnS首页首页