第五届全国高中青年数学第五届全国高中青年数学 教师优秀课大赛教师优秀课大赛 教学设计教学设计课课 题题: 等比数列等比数列 (第一第一课时课时)执教人执教人: 韩韩 灵灵单单 位位: 山西省太原市育英中学山西省太原市育英中学等比数列教学设计- 2 -2.4.1 等比数列等比数列教学目标教学目标1、通过实例，理解等比数列的概念通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。2、 探索并掌握等比数列的通项公式通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。教学难点教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程教学过程：一、一、创设情境创设情境,引入新课引入新课在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例 1。实例分析实例分析 1：在数学 3(必修)中，我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以 1 个位可以存储 0、1 两种不同的信息.如果有 2 个位，就可以存储 00、01、10、11 四种不同的信息.我们记 n个位共能储存的不同信息 种，写出 的前 5 项。nana【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到 的前 5 项为 2,4,8,16,32。 na实例分析实例分析 2：公元前 5 至前 3 世纪，中国战国时， 庄子一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？等比数列教学设计- 3 -【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，。 21 41 81 161【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。实例分析实例分析 3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染 20 台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？【学生】合作讨论,得出什么为第一轮，第二轮。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1,20,202，203,。【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列，说说它们有什么共同特点？引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。我们可以发现：数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于_；数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于_；数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于_；也就是说这个数列有一个共同的特点：从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列。【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子，观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等比数列的定义。二、探究新课二、探究新课1、等比数列的定义探究探究 1：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？【设计意图】学会类比的思想。【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义。如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示。等比数列教学设计- 4 -【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们第 n 项用表示，那么na它的前一项该怎么表示，那么比怎么表示？这里的 n 的取值范围呢？【学生】讨论，交流。或)2(1nqaann) 1(1nqaann【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的，和刚才那位同学下的定义一样吗？有什么不同？【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有 q0 这个条件.思考：等比数列的定义中，可否去掉“q0”的条件？为什么？能否将“ ”的条件改写成“ ”？为什么？【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“q0”的条件，因为如果 q=0,则分子为 0,而每一个分子都可能出现在分母中,则分母为 0 无意义; 表达式说明在等比数列中的任意项都不能为 0.感悟:等比数列中 q0,.0na【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？【学生 1】常数列。【老师】是吗?有不同意见吗?【学生 2】非零的常数列既是等差又是等比数列。练习 1：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比 q。（1）1,2, 8，32，128, 。 -不 是 （2）-1,5，25，125,。 - 是 q =5（3） 2，2，2，2， 。 - 是 q =1（4） 1，-0.5，0.25，-0.125， 。 - 是 q = - 0.5（5） 1, 2，1, 2,1, 2。 - 不是【老师】思考:公比 q 的取值范围是什么呢？【学生】正数、负数，但是不能为零。练习 2：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。（1）1， _ ， 9 （2）-1，_ ，-4qaann1qaann1qaann1等比数列教学设计- 5 -（3）-12，_ ，-3 （4）1， _ ，1【学生 1】根据等比数列的定义，得出插入 3 后，构成等比数列。【学生 2】补充插入-3 后，也能构成等比数列。学生思考，得到两个都符合题意.。下面三个小题可根据（1） ，顺利得到答案。【老师】在学习等差数列的定义后，我们也做过这样的题目，在两数中间插入一个数，使三数成等差数列，那么我们把中间这个数称为等差中项。类比等差中项的概念，我们把刚才插入的那个数称为等比中项。2、等比中项探究探究 2：前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义，你能仿照等差中项，给出等比中：前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义，你能仿照等差中项，给出等比中项的定义吗？等差中项与等比中项有何差异？项的定义吗？等差中项与等比中项有何差异？【老师】类比等差中项的概念，大家给等比中项下个定义吧。【学生】如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。学生思考得结论：任何两个数都有等差中项，有且只有一个，而只有同号的两个数才有等比中项，而且有两个，且互为相反数。3、等比数列的通项公式我们继续来研究一下情境中的这三个数列。探究探究 3：试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比数列的通项公式。：试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比数列的通项公式。【设计意图设计意图】体现由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，体现由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，归纳，猜想的过程。归纳，猜想的过程。 nna2121 nna120nna【学生】通过观察，看出这三个数列的通项公式，并寻找这三个公式中共性的地方，把改写成，观察，发现都有 n-1 次幂的形122n na1211 nna1201n na式，而且乘号前面的数字 2,1,1 都是首项，乘号后面的数字 2，20 都是各项的公比，1a,21所以猜想等比数列的通项公式是 an=a1qn-1。【老师】这位同学猜想的很好，那我们就来推导一下等比数列的通项公式，看看和这位同学猜想的一致吗？等比数列教学设计- 6 -探究探究 4 4： 类比等差数列通项公式的推导过程，请你写出首项为类比等差数列通项公式的推导过程，请你写出首项为 a1a1，公比是，公比是 q q 的等比数列的的等比数列的通项公式。通项公式。【老师】我们在学习等差数列的通项公式时，用过哪些方法？【学生 1】回忆了用不完全归纳法证明通项公式的方法，类比等差数列的推导过程，设等比数列an首项为 a1，公比为 q，根据等比数列的定义，我们有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,即 an=a1qn-1.【老师】请同学们想一想，你还有其它方法吗？【学生 2】根据等比数列的定义，我们还可以写出,qaa aa aa aann1342312.进而有，即 an=a1qn-1.11nnqaa【学生 3】an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=a1q n-1.亦得an=a1qn-1。【老师】等比数列的通项公式：an=a1qn-1 （nN,q0）我们知道了等比数列的通项公式后，下面我们做课本 52 页练习，来看一下它有哪些应用。学生做练习，老师巡视，予以指导。探究探究 5：在课本：在课本 50 页的平面直角坐标系中，页的平面直角坐标系中，(1)画出通项公式为画出通项公式为 an=2 n-1的数列的图象。的数列的图象。(2)再在坐标系中画出函数再在坐标系中画出函数 y=2x-1的图象，观察它们之间的关系。的图象，观察它们之间的关系。(3)若将底数换为若将底数换为 呢？你有怎样的结论？呢？你有怎样的结论？21【设计意图设计意图】等比数列等比数列的通的通项项公式公式还还可以写成可以写成，当，当 q 为为不不 na111 1.()nnn naaaa qqcqcqq 与 与与 与等于等于 1 的正数的正数时时， ，是一个指数函数，是一个指数函数，是一个的非零常数与一个指数函数的是一个的非零常数与一个指数函数的积积。 。xyq xycq 因此从因此从图图像上看，表示数列像上看，表示数列的点都在函数的点都在函数的的图图像上像上。 ncqxycq 【学生】观察、动手作图，发现规律，总结规律，数列是特殊的函数，等比数列是其对应函数图象上孤立的点。【老师】通过几何画板演示动画。三、归纳小结三、归纳小结 提炼精华提炼精华等比数列教学设计- 7 -本节课主要学习了：一个定义：)2(*1nNnqaann且一个公式：，an=a1qn-1 （nN,q0）两种思想：方程思想 、函数的思想。三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠乘法（此条不板书） 。【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？【学生 1】在本节课中，我学习了等比数列的定义，等比中项的公式，学会了等比数列的推导的三种方法，最后学习了等比数列和函数之间的关系。【学生 2】在本节课中我还学习了类比的思想。【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。四、作业四、作业2.根据右图的框图,写出所打印数列的前 5 项,并