2 6 中学数学研究 2 0 1 0年第4期 研 究抽象 函数的方法 湖北京山一中 ( 4 3 1 8 0 0 ) 梁克强 湖北京山中学 ( 4 3 1 8 0 0 ) 杨 刚 抽象函数没有给 出函数的具体表达式 ，也没 有用列表或图象的方法表示出来 ， 怎样研究这些抽 象 函数呢?这里通过例子给出两种常用的方法 ，供 大家参考 一 、利用函数的性质 根据所研究的问题 ， 利用 函数的性质 ， 化抽象 为具体 例 1 ( 2 0 0 9年广东茂名) 已知函数- 厂 ( )是定 义域为 R的偶函数， 且 +1 )= ， 若-厂 ( )在 咒， 一1 ， 0 上是 减 函数 ， 那 么 -厂 ( )在 2 ， 3 上 是 ( ) A 增函数 ； B 减函数 ； C 先增后减函数 ；D 先减后增函数 分析 ： 充分利用两个 已知条件由- 厂 ( +2 )= ) ， 可知I厂 ( )的周期为 2 又 ) 是 定义域为R的偶函数， 根据-厂 ( ) 在 一1 ， 0 上是减 函数， 可以推得 )在 0 ， 1 上是增 函数 ， 进一步 推得j r ( )在 2 ， 3 上是增函数 ， 故选 A 点评 ： 本题利用 函数的周期性及偶 函数的对称 性， 逐步推出函数在区间 一1 ， 0 一 0 ， 1 一 2 ， 3 的单调性 ， 把隐含条件揭开 ， 抽象函数具体化 例 2 ( 2 0 0 9年北京崇文) 已知 函数 Y=I厂 ( ) 的定义域为R， 当 1 ， 且对任意的实 数 ， YR， 等式 ) _厂 ( Y )= +Y ) 成立 若数列 1 口 满足 。 - = -厂 ( 0 ) ， 且 n ) = ( n N ) ， 则 。 砌 的值为( ) A 4 01 6；B 401 7；C 4 01 8；D 4 01 9 分析 ： 把函数的条件 ， 逐步转化到数列 中去 令 Y=0 ， 得 ) _厂 ( 0 )= ) ， 则 0 )=1 当 0 时 ， 1 一 2 ) ， 可知函 数 )为减 函数 ， 由 l厂 ( 0 ) = ， 得 0 ) 一2一口 )= 0 + 。 一2一。 )： 0 ) ， 可转 化为数列项的递推关 系： n 一口 =2 于是， 数列 o 是 以l 为首项 ， 2为公差的等差数列， 则 n 砌 = 1+2 0 0 8 X 2=4 0 1 7 故选 B 点评： 本题把抽象函数的条件， 逐步转化为递 推数列 ， 再进一 步转化为等差数列， 抽象转化为具 体 例3 ( 2 0 0 9 年湖南四县) 定义在R上的函数 = )有反函数 ， 则函数 Y： +1 )+2与 Y= 厂 ( +1 )+2的图象关于直线 对称 分析 ： 根据反函数的性质 ， 函数Y：， ( ) 与Y= 厂 ( ) 的图象关于直线Y= 对称， 把它们同时先向 左平移 1 个单位 ， 再 向上平移 2 个单位 ， 分别得到函 数 Y=-厂 ( +1 )+2与 Y=厂 ( +1 )+2的图象 ， 它们关于直线 Y= +1+2即 Y= +3对称 点评 ： 这里利用反函数的性质和图象平移的性 质， I N地把抽象函数的问题具体化 二、 利用图象直观 利用直观图象， 把抽象函数转化为具体的问题 来解决 例 4 已知二次函数 )满足 1+ )= l ) ， 且 0 )=0 1 )=1 ， 若八 ) 在区间 m， n 上的值域是 m， n ， 则 m = 分析 ：由二 次 函数满 足 -厂 ( 1+戈 )= i ) ， 得 =I 是 )的对称轴 ， 又 0 )= 0 1 )=1 ， 可以作 出如右的 直观图， 而 当 m， n 时 ， _ 厂 ( )的值域是 Y m， ， 故 m =0 ， =1 点评 ： 本题利用图象直观 ， 揭开函数 的 定义域 和 值域的秘密 例5 ( 2 0 0 9 年浙江温州) 已知集合M = l ， 2 ， 3 ， N = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 定义函数 ： M一 ， 若点A ( 1 ， 1 ) ) 、 ( 2 2 ) ) 、 c ( 3 3 ) ) ， 1 A B C的外接圆圆 心为D， 且D A+DC：AD B ( AR) ， 则满足条件的 函数 )有( ) A 6个 ； B 1 0个 ； C 1 2个 ； D 1 6个 2 0 1 0年第 4期 中学数学研究 2 7 解题教 学 中应 突 出基本量思想 的指导作用 山东省滨J ,i、l 市教研室 ( 2 5 6 6 0 0 ) 王文清 1 问题的提出 从一道高考题谈起 ： 大家可能还记得 2 0 0 4年全 国高考新课程卷第 ( 1 2 ) 题 ： 已知 0 +6 =1 ， 6 +C =2 ， c +0 =2 ， 则0 6+ 6 c +c 0的最小值为( ) A 一1 2 ； B 1 2一, X ； C 一1 2 0 D 1 2+0 当年该题 的得分率极低 ， 因为一看到此题 ， 考 生 比较容易想到的是用均值不等式来求最小值 ， 但 是又找不到用均值不等式的途径 其实该题用均值 不等式无法解决 ， 如果一味强求 ， 不仅浪费时间 ， 而 且徒劳无功 造成这种局 面的原 因， 除 了教学 中套题 型之 外 ， 最主要也是最根本的原因， 就是教学中， 基本量 思想的缺失 因为若有基本量的思想 ， 则一看便知， 因为题设有三个未 知数、 三个方程 ， 所以三个未知 数的值可以确定 易解得 n ， 6 ， c 三个未知数的值 分别是1 2 ， 1 2 ， 3 2 ， 进一步可得n= A- 2 ， b= 2 2 ， c= 6 2 若要使 0 6+6 c +c 口 取最小值， 则 必须让绝对值最大的 C 取负值 一 2， 而绝对值较 小的 0 ， 6 均取 2 即得正确答案是 B 2 基本量 基本量思想 那么 ， 什么是基本量? 什么又是基本量思想呢? 所谓基本量 ， 就是若干个能唯一确定一个数学 问题的量称为该 问题 的一组“ 基本量” 多一个没必 要 ， 少一个不行 其 中的每一个 量称 为该问题 的一 个基本量 所谓基本量思想 ， 就是术解 数学问题时， 自觉 挖掘 、 利用问题的基本量来指导 自己对数学 问题的 理解和研究 是对基本量概念的本质认识 3 在解题教学中。 突出基本量思想的指导作用 在解题时 ， 基本量思想的意义主要在于使解题 者能意识到题 目所给条件是否足以保证问题是确 定的 即可判断题 目是否有唯一解 ， 还是有多解 ； 题 目可解 ( 确定) ， 还是不可解 ( 不确定 ) 更重要的在 于解题者整体的把握了问题 以下分类举例说明： 3 1 几何问题 例 1 ( 0 7四J i I 卷理 1 1 ) 如图 ， Z 。 、 f 、 Z ， 是同一平面内的 三条平行直线， Z 。 与 f 2 问的距 离是 1 ， f 与 Z 间的距离是 2 ， 正三角形 A BC的三顶点分别 在 Z 。 、 f 、 f 上 ， 则 A B C的边 长是( ) c ； B 4 S ； c ； 。 竽 一+* ”+ +一+”+一+一 ”+一+一+ 分析： 点的坐标可以是( 1 ， 1 )或( 1 ， 2 )或( 1 ， 3 ) 或 ( 1 ， 4 ) ， 日点 的坐标 可以是 ( 2 ， 1 )或 ( 2 ， 2 )或 ( 2 ， 3 )或 ( 2 ， 4 ) ， C点的坐标可 以是( 3 ， 1 )或 ( 3 ， 2 ) 或( 3 ， 3 ) 或 ( 3 ， 4 ) A B C的外接圆圆心为 D， 且D A +D C=AD B( AR) ， 从几何意义来看 ， D A+D C是 以 和D C邻边的菱形 的对角线 向量， 也 即为 _ A DC的角平分线 ， 则 日也在角平分线上 ， 1 A B C为 等腰三角形 ， 这样 的三角形有 1 2个 ， 则满足条件 的 函数 厂 ( )有 1 2个 故选 C 点评 ： 本题从几何意义的角度来研究函数 ， 把抽 象函数具体化 练 习题 1 定义在 尺上的函数 ) 既是奇函数又是以2 为周期 的周期 函数 ， 则 1 )+l厂 ( 4 )+ 7 )等 于 ( ) ”+”+ +”+“+”+”+一+一 A 一 l； B 0； C1；D 4 2 设定义在 尺上的函数 ) 满足厂 ( ) +2 ) =1 3 ， 若厂 ( 1 )=2 ， 则 9 9 ) 等于( ) A1 3； B 2； C1 3 2；D 2 1 3 3 定义在 R上的 函数厂 ( )满足 ： 对任 意 ， R有 + ： )= )+ -厂 ( )+1 ， 则下列说法 一定正确的是( ) A )为偶函数； B )为奇函数； C厂 ( )+1为偶函数 ；D )+1 为奇函数 4 数 )l ，I ， J f l 。 f 域 足 1 2 ， 3 ， 则函数 的值 域 址 ( ) A- _ 2 ， l 0 3 J ； B 1 1 2 ， 3 ； C 5 2 ， 1 0 3 ； D 3 ， 1 0 3 参考答案 1 B； 2 C ； 3 D ； 4 A