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2018 高考数学(理)第一次模拟试卷高考数学(理)第一次模拟试卷(含答案含答案数学数学(理科理科)本试卷共 4 页,满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4.考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)已知集合 , ,则 (A) (B) (C) (D) (2)已知复数 ,则 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10(3)已知向量 , ,若 ,则 (A) (B) (C) (D) (4)一个圆柱形水桶,底面圆半径与高都为2(桶底和桶壁厚度不计) ,装满水后,发现桶中有一个随处悬浮的颗粒,用一个半径为 1 的半球形水瓢(瓢壁厚度不计)从水桶中舀满水,则该颗粒被捞出的概率为(A) (B) (C) (D) (5)已知 ,实数 满足 ,则 (A) (B) (C) (D) (6)与中国古代数学著作算法统宗中的问题类似,有这样一个问题:“四百四十一里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走 441 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为(A)3.5 里 (B)7 里 (C)14 里 (D)28 里(7)函数 的部分图象大致为(A) (B) (C) (D)(8)已知两条直线 与 被圆 截得的线段长均为 ,则圆 的面积为(A) (B) (C) (D) (9)某几何体三视图如图 1 示,则此几何体的表面积为(A) (B) (C) (D) (10)已知 F1、F2 是双曲线 C 的两个焦点,P 是C 上一点,线段 的垂直平分线经过点 F2,且 ,则此双曲线 C 的离心率为(A) (B) (C) (D) (11)某地铁站有 A、B、C、D、E 五个自动检票口,有 4 人一同进站,恰好 2 人通过同一检票口检票进站,另 2 人各自选择不同的检票口检票进站,则不同的检票进站方式的种数为(A)60 (B)180 (C)360 (D)720(12)已知 是函数 的极值点,且满足 ,则符合要求的 的个数为(A) (B) (C) (D) 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答第(22)题第(23)题为选考题,考生根据要求做答二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上(13)图 2 是一个算法流程图,若输入 x 的值为 ,则输出的y 的值是 .(14)已知实数 满足约束条件 ,则 的取值范围为是 (15)已知数列 满足 ,设数列 的前 n 项和为 ,则 =_. (16)已知抛物线 的焦点为 ,抛物线上的动点 (不在原点)在 轴上的投影为 ,点 关于直线 的对称点为 ,点 关于直线 的对称点为 ,当 最小时,三角形 的面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分 12 分)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 , , .()求角 A 的值;()求ABC 的面积(18) (本小题满分 12 分)如图 3,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC平面ABC,ABC 和PAC 都是正三角形, ,E、F 分别是 AC、BC 的中点,且PDAB 于 D. ()证明:平面 PEF平面 PED;()求二面角 的正弦值(19) (本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 100 元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 250 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得图 4的条形图:记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在 图 4购买易损零件上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的易损零件数.(I)若 =19,求 y 与 x 的函数解析式;(II)以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件发生的概率()若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的概率不小于 0.5,求 的最小值;()假设 取 19 或 20,分别计算 1 台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?(20) (本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 上的动点,点 ,点 与点 关于原点对称.(I)求PAC 面积的最大值;(II)若射线 、 分别与椭圆 T 交于点 、 ,且 , ,证明:为定值(21) (本小题满分 12 分)已知 ,函数 . (I)讨论 的单调性;(II)已知当 时,函数 有两个零点 和 ( ) ,求证: 请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分(22) (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 (t为参数) ,直线 l2 的参数方程为 (m 为参数) ,当 k 变化时,设 l1 与 l2 的交点的轨迹为曲线 C (I)以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程;(II)设曲线 C 上的点 A 的极角为 ,射线 OA 与直线 的交点为 B,且 ,求 的值(23) (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 ,a 为实数(I)当 时,求不等式 的解集; (II)求 的最小值揭阳市 2018 年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数 一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B A A B C A B D C B解析: (9)由三视图知,该几何体是一棱长为 2的正方体和一底面半径为 、高为 1 的圆柱的组合体,其表面积 .(10)不妨设点 P 在第一象限,依题意有 , ,又由 得 .(11) ;(12)法 1:由 是函数 的极值点可得 ,即 ,故 因 ,当 时, , 成立;当 时, ;当 时, , ;综上知,满足题意的 时,共 个【法:2:由题意知 ,得 ( );由 图象得 的解为 或 ,即 或 ,即 或 ,因 ( )故 无解,由 得 时,共 个 】二、填空题题序 13 14 15 16答案 2 解析(16)显然 ,即 的最小值为 ,仅当 、 、 共线且点 在 、 之间时取等号,此时 ,即直线 的斜率为 (取 也可) ,联立 ,可得 ,故 三、解答题(17)解:()由已知及 ,得 ,-2 分即 ,得 -4 分又 , ,即 ;-6 分()由已知及正弦定理得 ,-7 分由余弦定理 ,得 , -9分解得 ,-10 分ABC 的面积为 -12 分(18)解:()E、F 分别是 AC、BC 的中点,EF/AB,-1 分在正三角形 PAC 中,PEAC,又平面 PAC平面 ABC,平面 PAC平面ABC=AC,PE平面 ABC,-3 分PEAB,又 PDAB,PEPD=P,AB平面 PED, -5 分又 EF/AB,EF平面 PED,又 平面 PEF,平面 PEF平面 PED.-6 分()解法 1:平面 PAC平面 ABC,平面PAC平面 ABC=AC,BEAC,BE平面 PAC,-7 分以点 E 为坐标原点,EA 所在的直线为 x 轴,EB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系如图示,则 , ,-8 分, ,设 为平面 PAB 的一个法向量,则由 得,令 ,得 ,即 -10 分设二面角 的大小为 ,则 ,,即二面角 的正弦值
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